Algebra

What Are Exponential Equations?

An exponential equation is an equation where $x$ is in the exponent. To get $x$ down from the exponent, you have to use logarithms. You are free to use either $\log$ or $\ln$ . When working with exponential and logarithmic equations it is important to remember the logarithmic and exponential rules! You solve these types of equations like this:

Rule

Exponential Equations

The same rules are in place for both

\ln

and

\log

. You are most likely to use

\ln

\begin{array}{l} a^{x} & = b \\ \ln a^{x} & = \ln b \end{array}

Do the logarithm on both sides to get $x$ down:

x \ln a = \ln b

Divide by $\ln a$ on both sides:

x = \frac{\ln b}{\ln a}, a, b > 0

Note! The answer will be the same whether you use $\ln$ or $\log$ !

Example 1

Solve the equation $1 0^{x} = 3000$

\begin{array}{l} 1 0^{x} = 3000 \ln 1 0^{x} & = \ln 3000 x & = \frac{\ln 3000}{\ln 10} x & \approx 3.477Example 2 Solve the equation 32 \cdot 2^{x} = 128 \begin{array}{l} 32 \cdot 2^{x} = 128 2^{x} & = 4 \ln 2^{x} & = \ln 4 x \ln 2 & = \ln 4 x & = \frac{\ln 4}{\ln 2} = \frac{\ln 2^{2}}{\ln 2} = \frac{2 \cdot \ln2}{\ln2} = 2Example 3 Solve the equation 5 \cdot 4^{x} = 45 \begin{array}{l} 5 \cdot 4^{x} = 45 4^{x} & = 9 \ln 4^{x} & = \ln 9 x \ln 4 & = \ln 9 x & = \frac{\ln 9}{\ln 4} = \frac{\ln 3^{2}}{\ln 2^{2}} = \frac{2 \ln 3}{2 \ln 2} = \frac{\ln 3}{\ln 2}Want to know more? Sign Up It's free!DoneContinue69What Are Logarithmic Equations?70How to Solve Exponential Inequalities71How to Solve Logarithmic InequalitiesHome Curriculum Games Stats LeagueAbout Us About House of Math Employees Career Media Lectures Blog Contact support@houseofmath.com Booking of private tutoring +47 22 150 300 Address Bygdøy allé 23
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Logarithms will allow you to get a variable down from an exponent.","cssUrl":"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css","htmlContent":{"html":" \u003c/p\u003e\u003cp class=\"indent\" \u003e     An \u003cspan  class=\"ec-lmri-12x-x-144\"\u003eexponential equation \u003c/span\u003eis an equation where \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is in the exponent. To get \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e down from the exponent, you have to use \u003cspan  class=\"ec-lmri-12x-x-144\"\u003elogarithms. \u003c/span\u003eYou are free to use either \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e or \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math type=\"punct\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\"indent\" \u003e     When working with exponential and \u003ca href=\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations\"\u003elogarithmic equations\u003c/a\u003e it is important to remember the \u003ca href=\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-are-the-logarithm-rules\"\u003elogarithmic and exponential rules\u003c/a\u003e! You solve these types of equations like this: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\"tcolorbox foorule\" id=\"tcolobox-1452\"\u003e     \u003cdiv class=\"tcolorbox-title\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\"indent\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\"tcolorbox-content\"\u003e\u003cp class=\"noindent\" \u003e\u003ch3 class=\"rule-container-title\"\u003e \u003cspan  class=\"ec-lmbx-12x-x-172\"\u003eExponential\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\"ec-lmbx-12x-x-172\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\"noindent\" \u003eThe same rules are in place for both \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e. You are most likely to use \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math type=\"punct\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"block\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\"left\" class=\"align-star\"\u003e                                                   \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\"right\" class=\"align-odd\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                                             \u003cmtd  class=\"align-even\"\u003e \u003cmo  class=\"MathClass-rel\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\"2em\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  columnalign=\"right\" class=\"align-label\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\"align-label\"\u003e                                        \u003cmspace width=\"2em\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\"right\" class=\"align-odd\"\u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                                         \u003cmtd  class=\"align-even\"\u003e \u003cmo  class=\"MathClass-rel\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\"2em\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\"right\" class=\"align-label\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\"align-label\"\u003e \u003cmspace width=\"2em\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\"noindent\" \u003eDo the logarithm on both sides to get \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e down: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\"equation-star\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"block\" class=\"equation\"\u003e                                                   \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\"MathClass-rel\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\"noindent\" \u003eDivide by \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e on both sides: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\"equation-star\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"block\" class=\"equation\"\u003e                                               \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\"MathClass-rel\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmo  class=\"MathClass-punc\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\"1em\" class=\"quad\"/\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\"MathClass-punc\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\"MathClass-rel\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\"noindent\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\"ec-lmbx-12x-x-144\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e The answer will be the same whether you use \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   display=\"inline\" \u003e\u003cmi class=\"qopname\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e or \u003cmath mathvariant=\"normal\"   xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\"   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You solve these types of equations like this: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1452\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eExponential\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe same rules are in place for both \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e. You are most likely to use \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                   \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmspace 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\u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"taskReference\":null}},\"bootcampVideo\":{\"progressPercentage\":0,\"videoLength\":1},\"vcc\":{\"module\":{\"encyclopediaArticle\":null,\"page\":[{\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"Why You Need Algebra\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"siblings\":[{\"h1\":\"Why You Need Algebra\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/why-you-need-algebra\"},{\"h1\":\"What Is Algebra?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/what-is-algebra\"},{\"h1\":\"How to Add and Subtract Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/how-to-add-and-subtract-variables\"},{\"h1\":\"How to Multiply Numbers with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/how-to-multiply-numbers-with-variables\"},{\"h1\":\"Examples of Multiplying Numbers with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/examples-of-multiplying-numbers-with-variables\"},{\"h1\":\"What Are Variable Terms?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/what-are-variable-terms\"}],\"h1\":\"Why You Need Algebra\",\"language\":\"en\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8xMDF3aHlhbGdlYnJhLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJ2ZXJzaW9uIjozfQ==\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1135\\\"\u003e     \u003cdiv 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            \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The word “algebra” comes from the Arabic word “al-jabr”, which means “reunion” or “restoration”. Calculations in algebra encompass \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/how-to-add-and-subtract-variables\\\"\u003eaddition\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/how-to-add-and-subtract-variables\\\"\u003esubtraction\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/how-to-multiply-numbers-with-variables\\\"\u003emultiplication\u003c/a\u003e, Division and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/what-is-the-connection-between-powers-and-roots\\\"\u003eroots\u003c/a\u003e of \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-a-variable\\\"\u003evariables\u003c/a\u003e and numbers. Because of this, algebra is a continuation of arithmetic, which is \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/addition-and-subtraction/addition-with-help-from-the-number-line\\\"\u003eaddition\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/addition-and-subtraction/subtraction-with-help-from-the-number-line\\\"\u003esubtraction\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/multiplication\\\"\u003emultiplication\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/division\\\"\u003edivision\u003c/a\u003e with only numbers. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You’re about to begin your journey in the world of algebra. That’s really exciting! When you learn to do calculations with variables as well as numbers, a completely new world of possibilities will open for you. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Algebra is one of the most exciting things out there. Nothing beats cleaning up an expression of variables and seeing how beautiful and neat it can turn out. It’s fascinating how a small set of rules can be \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eso powerful \u003c/span\u003ewhen combined. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/s102_algebra_i_rommet.svg\\\" alt=\\\"Algebraic expressions in space\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Understanding algebra, and the way of thinking behind it, makes it way easier for you to \u003ca href=\\\"/study-tips/problem-solving\\\"\u003esolve problems\u003c/a\u003e. You can think of it as brain teasers and logical thinking—things that will be useful your entire life. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1136\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eImagine that you’re cleaning your room because your clean clothes are all over the floor. On the floor you find these pieces of clothing: \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003esweater pants sweater T-shirt pants pants T-shirt\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou pick up and fold two sweaters, three pants and two t-shirts and put them back in your closet. When you put the pieces of clothing on the shelves they belong to and count how many you have of each kind of clothes, \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eyou’re doing algebra.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can think about how algebra works in the same way as cleaning your room. Algebra counts and distributes different variables and numbers into different groups. It helps you organize! \u003c/p\u003e                                                                                                         \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Algebra is much more than just counting variables. It’s a collection of the most fundamental methods you need to solve other kinds of mathematics. You often put variables into other mathematical methods, like \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-formulas-for-specified-variables\\\"\u003eformulas\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequations\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-are-functions-in-math\\\"\u003efunctions\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The fun part about math is that if you do your homework, new theory you learn will seem much easier. It’s important to do the homework with the intention to \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eunderstand \u003c/span\u003eit, and not just to finish it. Unfortunately, \u003ca href=\\\"/study-tips/study-techniques/5\\\"\u003eholes in your knowledge\u003c/a\u003e make new topics much harder to understand most of the time. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/01 Basic Algebra/01 Introduction to Algebra/101WhyAlgebra.tex\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra\",\"h1\":\"Basic Algebra\",\"_key\":\"18bcbbb3-f967-5f3d-8d88-7c336562ad44\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra\",\"h1\":\"Introduction to Algebra\",\"_key\":\"1bb2c67a-1910-5062-a688-4c13f08e49a6\"},{\"_key\":\"a160ca99-6df0-5789-9795-6cb677575244\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/why-you-need-algebra\",\"h1\":\"Why You Need Algebra\"}],\"isRootPath\":false,\"sharedLanguageKey\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/why-you-need-algebra\",\"taskReference\":null,\"image\":{\"alt\":\"Algebraic expressions in space\",\"_key\":\"ad39eca5-5683-58d7-ac7a-0ca6f114af66\",\"type\":\"textwidth\",\"dimension\":\"width\",\"value\":0.75,\"url\":\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/s102_algebra_i_rommet.svg\"},\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"title\":\"Why You Need Algebra\",\"type\":\"encyclopedia\",\"locale\":\"en\",\"metaDescription\":\"Understand why you must learn algebra. 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When we talk about algebra today, we no longer think exclusively about equations, but working with expressions with variables in them. Here’s an example of an algebraic expression: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                         \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     But what does \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e really mean? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The first thing you need to know is that when a number and a variable stand right next to each other, like above, there is an \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003einvisible multiplication sign \u003c/span\u003ebetween them. Look at this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                    \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     But \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ewhat is \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e tells you that you have four \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e’s. Mathematically, you can think of the expression as \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                        \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1138\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eProducts\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumbers\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eVariables\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                        \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e⋯\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e\u003c/mtext\u003e\u003cmstyle  class=\\\"math\\\"\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmtext  \u003e times\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you see \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is telling you how many \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e’s you have. That means the letter \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is a number. You use a letter—a variable—to describe the number, because you don’t know what the number is. If you had written a number in place of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e for example, you would just be describing one single case, instead of all the possibilities. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You use a variable to show that the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-formulas-for-specified-variables\\\"\u003eformula\u003c/a\u003e applies no matter how many \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e’s you have! That means that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e can be any number. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Pay close attention to the examples and make sure you understand what’s going on.                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1139\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWrite\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eas\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003esum\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1140\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWrite\u003c/span\u003e \u003cmath 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   \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1141\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWrite\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eas\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003esum\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   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If two or more terms have the same variable or combination of variables, then they are like, and you can add them. When you add two terms together, it looks like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     That’s because \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                    \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     As you can see, the only thing you need to do is add the numbers in front of the variables—the coefficients—together. This sum tells you how many you have of a given variable or combination of variables. In this case you have a total of five \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e’s. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Given what you’ve just learned, maybe you have an idea about how you subtract terms from each other! As you may have guessed, you can only subtract terms that are like, too. You do it in the same way you subtract numbers. When you subtract like terms, it looks like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                               \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     That’s because \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  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class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eAs you can see, it’s enough to subtract the coefficients in front of the variables. The difference tells you how many of a given variable you’re left with after subtracting. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you need to add terms together, or subtract them from each other, this is what you do: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1144\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eAdding\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSubtracting\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Separate         the         expression         into         terms.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         any         like         terms         next         to         each         other.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Add         and         subtract         the         like         terms.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here are some examples of how to add and subtract terms with variables. Put the terms in alphabetical order, with the terms including only numbers last. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1145\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eCalculate\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                             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When you do that, you multiply the numbers with each other, and then the variables come along too. We’ll start by looking at the most fundamental way that this works. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The simplest expression we have that includes a variable is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. In front of this \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, there’s an invisible 1. This 1 will play an important role in what is to come, so pay close attention! \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The multiplication in the rule below might look a little strange. When I write \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, it’s already equal to just one \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. To also write a 1, to indicate that there’s just one x, is unnecessary.                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1149\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eImportant\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                 \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you know that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e,                                                                                                                                                                                                                                          you can move onto the next step. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     What does it mean to multiply a number by an expression with variables? Take, for example, the multiplication expression \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. This expression describes how many times you have the factor \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. It can be analyzed like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                          \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e\u003c/mtext\u003e\u003cmstyle  class=\\\"math\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmtext  \u003e added three times\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     This method is kind of bothersome, though. Because of that, to multiply a number by an expression with variables, you just multiply the number with the number                                                                                                                                                                                                                                          in front of the variable. Remember that when there isn’t any number in front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, there’s still an invisible 1 there, and you can multiply your number by 1. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1150\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you multiply a number by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, you multiply that number by the invisible 1 in front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. You                                                                                                                                                                                                                                          can see what that looks like above. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Let’s take another step and see what really happens with expressions like the one above. This time you’re multiplying a number by an expression that consists of more than one \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1151\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMultiplying\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumber\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eby\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eVariable\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e      \u003cul class=\\\"itemize1\\\"\u003e      \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e      \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen         you         multiply         a         number         by         a         lonely         variable,         you         can         just         put         the         number         in         front         of         the         variable.         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen         you         multiply         a         number         by         a         variable         that         already         has         a         coefficient         in         front         of         it,         you         can         just         multiply         the         number         and         the         coefficient         by         each         other. \u003c/p\u003e         \u003c/li\u003e\u003c/ul\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1152\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eMultiplying numbers by variables: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ebecause \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" 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                                                    \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1153\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" 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Learn how you can multiply numbers by variables by studying this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Multiply Numbers with Variables\"},{\"metaDescription\":\"You can multiply both positive and negative expression of numbers and variables by each other. Learn how to multiply numbers by variables here.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"Examples of Multiplying Numbers with Variables\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"breadcrumbs\":[{\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\"},{\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra\",\"h1\":\"Basic Algebra\",\"_key\":\"18bcbbb3-f967-5f3d-8d88-7c336562ad44\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra\",\"h1\":\"Introduction to Algebra\",\"_key\":\"1bb2c67a-1910-5062-a688-4c13f08e49a6\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/examples-of-multiplying-numbers-with-variables\",\"h1\":\"Examples of Multiplying Numbers with Variables\",\"_key\":\"1c2026e7-f5b6-5c5e-b731-ca678603f5e3\"}],\"isRootPath\":false,\"title\":\"Examples of Multiplying Numbers with Variables\",\"locale\":\"en\",\"language\":\"en\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8xMDVjYWxjdWxhdGlvbnNsZXR0ZXJzbXVsdGlwbGljYXRpb25leGFtcGxlcy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwidmVyc2lvbiI6M30=\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1156\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about multiplying numbers and variables? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/1/7/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Elementary Algebra”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Now you’ll learn about \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/multiplication\\\"\u003emultiplying\u003c/a\u003e both positive and negative \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/numbers/sets-and-systems/what-is-the-real-number-line\\\"\u003enumbers\u003c/a\u003e by both positive and negative expressions with variables in them. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     To be comfortable with this you need to be able to handle signs, numbers and variables. For that reason, there is a really nice memory aid that will always give you the correct answer! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1157\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSign,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumber,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eVariable\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl 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  Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eMultiplying numbers and variables: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  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                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The first thing you need to decide is whether the answer is positive or negative. To do this you need to look at the signs of all the factors. Then you multiply the factors that are numbers together, so that you end up with the right number of                                                                                                                                                                                                                                          variables. Finally, you \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/addition-and-subtraction/addition-with-help-from-the-number-line\\\"\u003eadd\u003c/a\u003e the variable or variables that were part of the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/multiplication\\\"\u003emultiplication expression\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     By following these instructions, you’ll always find the correct answer. Take some time to practice this by doing lots of problems like the ones in the examples above. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cpicture\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTFfbWF0dGVkYW1hX3NrdWZmZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTFfbWF0dGVkYW1hX3NrdWZmZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTFfbWF0dGVkYW1hX3NrdWZmZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTFfbWF0dGVkYW1hX3NrdWZmZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003cimg srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTFfbWF0dGVkYW1hX3NrdWZmZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\" alt=\\\"The math master organizing variables in drawers\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\\n      \u003c/picture\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/01 Basic Algebra/01 Introduction to Algebra/105CalculationsLettersMultiplicationExamples.tex\",\"type\":\"encyclopedia\",\"taskReference\":null,\"h1\":\"Examples of Multiplying Numbers with Variables\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"sharedLanguageKey\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/examples-of-multiplying-numbers-with-variables\",\"metaDescription\":\"You can multiply both positive and negative expression of numbers and variables by each other. 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\u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/1/6/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Elementary Algebra”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Whenever you’re working with \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/what-is-algebra\\\"\u003ealgebra\u003c/a\u003e, it’s really important that you know what a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eterm\u003c/span\u003e is. The terms of an expression are separated by pluses and minuses: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In this number sentence, 12 is a term, but so is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. The number 9 is the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esum \u003c/span\u003eof all the terms. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You’ll now see how things turn out when we invite variables to the party. The terms are separated in exactly the same way. Whenever you see a \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e or                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e, a new term is formed. All terms start with either a plus sign or a minus sign. Remember: If you notice that there isn’t a sign written in front a term, you’re actually looking at an invisible \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e! \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     A numerical expression consists of \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eterms\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/addition-and-subtraction/addition-with-help-from-the-number-line\\\"\u003eAdding\u003c/a\u003e one term to another is called a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esum\u003c/span\u003e, while \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/addition-and-subtraction/subtraction-with-help-from-the-number-line\\\"\u003esubtracting\u003c/a\u003e one term from another is called a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003edifference\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooformula\\\" id=\\\"tcolobox-1163\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Formula\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTERM \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e TERM = SUM \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTERM \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e TERM = DIFFERENCE \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you add or subtract terms containing variables, you can only do so with terms that are \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003elike\u003c/span\u003e. Terms are like when they have the same combination of variables, and the same degree, or exponent. The numbers in front of the terms—the coefficients—don’t have to be the same.                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is an algebraic expression with a single term. If you connect more terms, both like and unalike, it might look like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is a term, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is another term, and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is the last term. As you can see, I’ve written the sign for each term. I do this to make sure I will always remember what term the sign belongs to. There’s also an invisible \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e in front of                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     So far you’ve only seen expressions with like variables. But what happens if the terms have \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eunlike \u003c/span\u003evariables? The method you should use is called \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ecollection\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1164\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCollecting\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLike\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTerms\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Decide         what         the         terms         are         in         your         expression.         The         sign         in         front         of         a         term         belongs         to         that         term.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         the         terms         with         like         variables         placed         next         to         one         another.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In the examples below you will see that each term is marked with a color. Terms that are like will have the same color. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1165\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSort\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eterms\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ein\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003esuch\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eones\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eare\u003c/span\u003e \u003cspan  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href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/calculation-order/parentheses-and-order-of-operations\\\"\u003eparentheses\u003c/a\u003e, you need to follow a particular set of rules. These rules allow you to remove the parentheses to clean up your expression. In school, you’ll spend a good amount of time working with expressions like this, so make sure to pay close attention. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1168\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumbers\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSigns\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMultiplied\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eby\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eParentheses\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         A         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         in         front         of         a         parenthesis         changes         nothing         inside         the         parentheses.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         A         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     in         front         of         a         parenthesis         changes         all         the         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/signs\\\"\u003esigns\u003c/a\u003e         inside         the         parentheses,         so         a         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         becomes         a         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     and         a         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     becomes         a         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         A         positive         factor         multiplied         by         a         parenthesis         leaves         the         signs         unchanged,         but         the         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/what-are-variable-terms\\\"\u003eterms\u003c/a\u003e         inside         the         parentheses         are         multiplied         by         the         factor         outside.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         A         negative         factor         multiplied         by         a         parenthesis         changes         all         the         signs         inside         the         parentheses,         and         the         terms         inside         the         parentheses         are         multiplied         by         the         factor         outside.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here are a couple of examples illustrating the four rules above: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1169\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRule\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003e1\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eExpand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eparentheses:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                      \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eExpand the parentheses:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                      \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eExpand the parentheses:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                    \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eExpand the parentheses:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                    \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e 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columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                              \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e  The order of multiplication does not matter as long as you perform all the operations. When you write how many you have of each variable, the number goes in front of the variable. When you present your answer, you write the terms of the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/what-are-powers-in-math\\\"\u003ehighest degree\u003c/a\u003e first, and then the rest in descending order. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIn this case, that means \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e goes first, as that is the term with the highest order. If you had a term with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, that would go in front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqathink\\\" id=\\\"tcolobox-1176\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWhat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003edo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyou\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethink\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewill\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ehappen\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eif\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethere\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eare\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003enegative\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eterms\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einside\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eparentheses?\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe  order  of  operations  is  simple.  When  you  multiply  two  terms  by  each  other,  you  should  always  focus  on  SIGN,  NUMBER,  and  VARIABLE.  If  you  do  that  for  each  term,  you’ll  end  up  with  the  correct  answer.  \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1177\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eExpand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eparentheses\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                          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You multiply each term in the first set of parentheses by each of the terms in the second set.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null},{\"encyclopediaArticle\":{\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/01 Basic Algebra/02 Parentheses/203ParenthesesAlgebra.tex\",\"sharedLanguageKey\":null,\"title\":\"What Are the Parentheses Rules?\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8yMDNwYXJlbnRoZXNlc2FsZ2VicmEucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     On this page, we can see all the rules for parentheses in one spot. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1181\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                      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\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about power in algebra? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/2/1/why\\\"\u003eClick here to try Video Crash Courses\u003c/a\u003e! \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It is very important to know the six rules of \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/what-are-powers-in-math\\\"\u003epowers\u003c/a\u003e, or \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eexponentiation. \u003c/span\u003eHere, we’ll go through each of them and you’ll see why they work. Rules 1 and 2 are presented in this entry, followed by \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/how-to-divide-powers\\\"\u003eRules 3 and 4, about dividing powers,\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/how-to-multiply-powers-in-parentheses\\\"\u003eRules 5 and 6, about powers of parentheses.\u003c/a\u003e At the end, you will find some \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/examples-of-solving-powers-with-variables\\\"\u003eexamples where you’ll have to use several of the rules at the same time.\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     There’s no reason to be afraid of these. As long as you make sure to follow the rules, you’ll always end up in the right place. That’s why one of the first steps you should take is to memorize these six rules! But first, let’s examine what powers look like. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1189\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePowers\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe expression \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e is called a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003epower\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is called the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ebase\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is called the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eexponent\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/potenser.svg\\\" alt=\\\"Examples of various powers\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch3 class=\\\"subsection-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-508000\\\"\u003e\u003c/a\u003eRule 1\u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1190\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePower\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003e0\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eAnything with an exponent of 0 equals 1, as long as \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e (\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e is undefined). \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                      \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1191\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eHere are a couple of different examples of 0 being the exponent, showing that the answer is always 1. \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                      \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch3 class=\\\"subsection-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-509000\\\"\u003e\u003c/a\u003eRule 2\u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1192\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMultiplying\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTwo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePowers\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSame\u003c/span\u003e \u003cspan  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\u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Let’s have a look at how this must be true with the help of an example: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     and \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  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\u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace 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\u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis rule is very important to memorize. Here are some more examples: \u003c/p\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1193\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSimplify\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  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Rules 3 and 4, presented here, tell you how to \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003edivide \u003c/span\u003epowers. The next entry will present \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/how-to-multiply-powers-in-parentheses\\\"\u003eRules 5 and 6 about powers of parentheses\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you have learned these rules, you should practice \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/examples-of-solving-powers-with-variables\\\"\u003eexamples combining the rules\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-510000\\\"\u003e\u003c/a\u003eRule 3\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1195\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDividing\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTwo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePowers\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSame\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eBase\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   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Learn two of the six rules of powers, known as exponentiation, here.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1199\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about power in algebra? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/2/5/how\\\"\u003eClick here to try Video Crash Courses\u003c/a\u003e! \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     This entry is a continuation of \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/what-are-the-power-rules-for-variables\\\"\u003eRules 1 and 2 about powers,\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/how-to-divide-powers\\\"\u003eRules 3 and 4 about dividing powers.\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rules 5 and 6, presented here, are about powers of parentheses. When you have learned these rules, you should practice \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/examples-of-solving-powers-with-variables\\\"\u003eexamples combining the rules\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-512000\\\"\u003e\u003c/a\u003eRule 5\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1200\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 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If you understand these crucial rules, you’ll be on the right track to mastering the mathematics that lies ahead. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here are some examples combining all the rules. Make sure you understand them! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1204\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWrite\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi 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\u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mtd\u003e                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e  \u003c/p\u003e                                                                                                                                  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ePay special attention to the fact that\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e. This is called the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esquare root \u003c/span\u003eof \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. It then follows that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e. This is called the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eth\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eroot \u003c/span\u003eof \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     If \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is an even number, you get an even root. Some examples include \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In the same way, you get odd roots when \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is an odd number. They look like this: \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The difference between even and odd roots is that even roots are only defined for                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. In odd roots, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e can be either positive or negative. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eYou can not take the even root of a negative number.\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e is undefined! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1211\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWrite\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eas\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003esimply\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eas\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003epossible\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e         \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e        \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e   \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1212\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWrite\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e  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\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e When you have a negative exponent, it’s usually best to write the power as a                                                                                                                                                                                                                                          fraction. The reason to do this is that in general, positive exponents are much easier to deal with than negative ones. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra\",\"h1\":\"Basic Algebra\",\"_key\":\"18bcbbb3-f967-5f3d-8d88-7c336562ad44\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers\",\"h1\":\"Powers\",\"_key\":\"3e1a9944-2461-5a39-8dae-468c00c88f9f\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/what-is-the-connection-between-powers-and-roots\",\"h1\":\"What Is the Connection Between Powers and Roots?\",\"_key\":\"b8ab1e6e-93cc-52bd-b581-228c3f8b41a7\"}],\"isRootPath\":false,\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/01 Basic Algebra/03 Powers/304PowersAndRoots.tex\",\"sharedLanguageKey\":null,\"h1\":\"What Is the Connection Between Powers and Roots?\"},\"level\":\"14\",\"metaDescription\":\"A root is a power with a rational exponent. Learn the correlations between powers, square roots and nth roots. 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The most important part is \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorizing\u003c/a\u003e the numerator and denominator, and then \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-divide-fractions-by-canceling\\\"\u003ecancelling\u003c/a\u003e common factors. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1215\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  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\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         the         remaining         factors.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1216\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSimplify\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  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               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1221\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eBeing able to factorize and cancel expressions is one of the main skills you need in mathematics. I recommend that you spend plenty of time practicing these skills. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"}},\"level\":\"15\",\"metaDescription\":\"Learn how to simplify a fraction of variables by factorizing the numerator and denominator, and canceling the common factors by reading this entry.\"},{\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Multiply Fractions with Variables\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"breadcrumbs\":[{\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra\",\"h1\":\"Basic Algebra\",\"_key\":\"18bcbbb3-f967-5f3d-8d88-7c336562ad44\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization\",\"h1\":\"Fractions and Factorization\",\"_key\":\"9f65a648-81b7-5da0-9ffd-638880ed7b92\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-multiply-fractions-with-variables\",\"h1\":\"How to Multiply Fractions with Variables\",\"_key\":\"9dd2b836-c6fb-5d81-8c6e-c12bddcaa70a\"}],\"sharedLanguageKey\":null,\"title\":\"How to Multiply Fractions with Variables\",\"locale\":\"en\",\"taskReference\":null,\"siblings\":[{\"h1\":\"How to Simplify Fractions with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\"},{\"h1\":\"How to Multiply Fractions with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-multiply-fractions-with-variables\"},{\"h1\":\"How to Divide Fractions by Canceling\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-divide-fractions-by-canceling\"},{\"h1\":\"How to Add and Subtract Fractions with x in the Denominator\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-add-and-subtract-fractions-with-x-in-the-denominator\"},{\"h1\":\"How to Factor Variable Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\"},{\"h1\":\"How to Factorize and Simplify Fractions with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factorize-and-simplify-fractions-with-variables\"},{\"h1\":\"How to Factorize Polynomials of Degree 3 and 4\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factorize-polynomials-of-degree-3-and-4\"},{\"h1\":\"How are Rational Expressions Simplified?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-are-rational-expressions-simplified\"}],\"image\":null,\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/01 Basic Algebra/04 Fractions and Factorization/401MultiplicationFractionsLetters.tex\",\"h1\":\"How to Multiply Fractions with Variables\",\"language\":\"en\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy80MDFtdWx0aXBsaWNhdGlvbmZyYWN0aW9uc2xldHRlcnMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-multiply-fractions-with-variables\",\"type\":\"encyclopedia\",\"metaDescription\":\"Learn how to simplify calculations for large multiplication expressions with fractions involving variables using cancellation in this entry.\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When multiplying \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/fractions-and-percentages/about-fractions/what-are-fractions\\\"\u003efractions\u003c/a\u003e, I am a fan of \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorizing\u003c/a\u003e and canceling common factors instead of multiplying and then simplifying. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The reason for this is that it makes the calculations much easier, and I like it when things are easy. By cross-canceling when possible instead of expanding the parentheses, the calculations become simpler and less messy. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here you will learn to multiply fractions with variables by factorizing and cross-canceling. Beware that you can \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eonly \u003c/span\u003ecancel factors that are on both sides of the fraction bar. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1222\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMultiplication\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThrough\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCanceling\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Factorize         the         numerators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Factorize         the         denominators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Cancel         common         factors.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Find         the         answer.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1223\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eEvaluate\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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                              \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou factorize with the help of the third algebraic identity of quadratic expressions, and then you cancel and multiply the fractions in this way:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e 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Learn how you can perform cross-cancelling fractions by studying this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Divide Fractions by Canceling\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"language\":\"en\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"isRootPath\":false,\"sharedLanguageKey\":null,\"type\":\"encyclopedia\",\"h1\":\"How to Divide Fractions by Canceling\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy80MDJjcm9zc2NhbmNlbGxpbmdsZXR0ZXJzLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJ2ZXJzaW9uIjozfQ==\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-divide-fractions-by-canceling\",\"title\":\"How to Divide Fractions by Canceling\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you divide one \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/fractions-and-percentages/about-fractions/what-are-fractions\\\"\u003efraction\u003c/a\u003e containing variables by another fraction with variables in it, you should definitely \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorize\u003c/a\u003e and cancel first. You might remember the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/fractions-and-percentages/fractions-arithmetic/multiplication-and-division-of-fractions/how-to-divide-fractions\\\"\u003e“keep, change, flip” method\u003c/a\u003e, where you multiply by the flipped fraction. This method actually lets you make a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/division\\\"\u003edivision problem\u003c/a\u003e consisting of two fractions into a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/multiplication\\\"\u003emultiplication problem\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You will learn that the “keep, change, flip” method works just as well when you have variables in the numerator and denominator, as when they’re just numbers. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1227\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDivision\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eby\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCanceling\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Flip         the         second         fraction         upside         down         and         change         the         division         sign         into         a         multiplication         sign.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Factorize         the         numerators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Factorize         the         denominators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Cancel         common         factors.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Find         the         answer.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1228\\\"\u003e     \u003cdiv 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\u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eApply the “keep, change, flip” method and cancel the common factors: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmstyle 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\u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                                                                        \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eApply the “keep, change, flip” method, factorize by using the third algebraic identity of quadratic expressions, cross-cancel the common factors, and multiply the remaining factors: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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Find a step-by-step procedure involving factorization, and see how to use it through examples.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"taskReference\":null,\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Similar to other \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/fractions-and-percentages/about-fractions/what-are-fractions\\\"\u003efractions\u003c/a\u003e, you need a common denominator to \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/fractions-and-percentages/fractions-arithmetic/addition-and-subtraction-of-fractions/add-and-subtract-fractions-with-different-denominators\\\"\u003eadd or subtract\u003c/a\u003e fractions with variables. That means you need to rewrite the fractions to get a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/fractions-and-percentages/fractions-arithmetic/addition-and-subtraction-of-fractions/find-the-common-denominator-by-multiplying-denominators\\\"\u003ecommon denominator\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1232\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eAdd\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSubtract\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFractions\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewhen\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eIs\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ein\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDenominator\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTake a look at the examples below while you read through the steps. In some of the examples, you don’t need to \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorize\u003c/a\u003e, so you can start at \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eItem 2\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         one         or         more         of         the         denominators         can         be         factorized,         you         \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eshould\u003c/span\u003e        factorize         them.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca   id=\\\"x1-5130462\\\"\u003e\u003c/a\u003e         The         common         denominator         is         the         product         of         the         denominators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         the         numerator         and         denominator         of         each         fraction         with         the         factors         from         the         common         denominator         that         aren’t         in         their         own         denominator.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Expand         the         numerators         and         denominators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Now         you         can         finally         perform         the         addition         or         subtraction.         After         that,         factorize         and         simplify         the         resulting         fraction.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e When the fractions have multiple terms in the numerators, it helps to imagine \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/parentheses/how-to-expand-parentheses-with-variables\\\"\u003eparentheses\u003c/a\u003e around them. Then you can use the rules for parentheses in your calculations. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1233\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e  \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e  \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                         \u003cmspace 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This means that instead of \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/multiplication\\\"\u003emultiplying\u003c/a\u003e something into parentheses, you create parentheses to place something on the outside. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1237\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMoving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  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factors\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1238\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFactorizing\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ean\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eExpression\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eVariables\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Factorize         all         the         terms         to         find         common         factors.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Place         the         factors         that         are         common         for         all         the         terms         in         front         of         a         set         of         parentheses.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         the         remaining         factors         of         the         terms         inside         the         parentheses.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You can always check whether you factorized correctly by expanding the parentheses and comparing the result to what you started with. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1239\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eexpression\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                     \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle mathcolor=\\\"#E60000\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmstyle mathcolor=\\\"#E60000\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle mathcolor=\\\"#E60000\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  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\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                          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     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1243\\\"\u003e   \u003ca   id=\\\"x1-513064x\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-513064xdoc\\\"\u003e\u003c/a\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 5\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eexpression\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  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Learn how to move a factor outside of parentheses by studying this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null},{\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Factorize and Simplify Fractions with Variables\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"h1\":\"How to Factorize and Simplify Fractions with Variables\",\"locale\":\"en\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003eFactorization\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003esimplifying\u003c/a\u003e are among the most useful procedures in mathematics. If they’re not second nature to you yet, reach out to your teacher, to a friend, or call someone for help. This needs to be on point! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1244\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFactorization\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eFactorization\u003c/span\u003e is rewriting a sum or difference as a product. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     There are several ways to factorize an expression. One is to write a number as a product:                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                    \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Another is to \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorize an expression containing variables\u003c/a\u003e. You can do this by putting common factors outside parentheses, \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                 \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     turning the expression into a product of parentheses, \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                       \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     or turning the expression into a product of parentheses and numbers/variables:                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                    \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e Remember that if you put an entire term outside the parentheses, the factor \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e will still remain inside the parentheses. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1245\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSimplifying\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eSimplifying\u003c/span\u003e is accomplished by dividing common factors by each other, because \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. This means that when you have the same factor in the numerator and denominator, they cancel each other out, and are replaced with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e! \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you multiply or divide something by 1, the value stays the same. When you \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-divide-fractions-by-canceling\\\"\u003ecancel\u003c/a\u003e common factors, this is exactly what happens, because \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003efactor\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003efactor\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You will often have to factorize \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ebefore \u003c/span\u003eyou can simplify. This is because expressions are often sums or differences. If you try to factorize and there are no common factors, then the expression is already as simplified as it can be. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1246\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                            \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e   \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmtext class=\\\"cancel\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mtext\u003e\u003c/mrow\u003e    \u003cmrow  \u003e\u003cmtext class=\\\"cancel\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtext\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e   \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1247\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                        \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e   \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e   \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmtext class=\\\"cancel\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  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                                                                         \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                          \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e  \u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  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The most important technique for this is \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/polynomial-long-division/what-is-polynomial-long-division\\\"\u003epolynomial long division\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you are left with a quadratic expression, you can factorize that as usual by finding \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                    \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e are solutions to the equation \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                               \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You can find these solutions through inspection, the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic formula\u003c/a\u003e, or by using \u003ca href=\\\"/geogebra/algebra/how-to-solve-an-equation-in-geogebra\\\"\u003edigital tools\u003c/a\u003e. But first, let’s take a closer look at polynomial long division: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1251\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eImportant\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFeatures\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePolynomial\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLong\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDivision\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e      \u003cul class=\\\"itemize1\\\"\u003e      \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e      \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIf         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         then         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       is         a         solution         to         the         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequation\u003c/a\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.         That         means         the         division         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       is         solvable         and         has         no         remainders.         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       is         solvable         without         a         remainder,         you         get         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e,         where         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       is         a         new         polynomial         of         a         lower         degree         than         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIf         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       is         of         degree         3         or         higher,         you         have         to         find         more         solutions.         Solutions         to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       are         also         solutions         to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e.         If         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       is         of         degree         2,         you         can         factorize         the         expression         like         you         normally         would.         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eQ\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       is         a         factorization         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e         \u003c/li\u003e\u003c/ul\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In exercises where you are factorizing polynomials of higher degrees, you are either given a value that you are supposed to check, or there is a clear hint about what is correct. If not, one of the solutions will often be \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e or \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. You \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-check-solutions-to-an-equation\\\"\u003echeck the solution\u003c/a\u003e by inserting the value of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e into the polynomial to see if the answer is 0. If it is, you know that the value you inserted is a solution to the equation, and you can start factorizing. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1252\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFactorization\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePolynomials\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eUsing\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePolynomial\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLong\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDivision\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eCheck if there is a power of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in all terms. If that’s the case, you pull out the highest degree of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       that is common between all terms. If that gives you a quadratic expression, you factorize         it in one of the ways I talked about above. For example:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                     \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIf not, go to \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eItem 2\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003ca   id=\\\"x1-5130752\\\"\u003e\u003c/a\u003e If the starting polynomial doesn’t have         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e in all of         its terms, you have to guess at a solution. You can start with the values that were introduced         above: \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e       \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eCall your expression \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e and         check the values of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e until         you find one that gives you \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eNext, you find \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       through polynomial long division.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eRepeat this process until you have a polynomial of degree 2 or lower.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eUse any of the ways to factorize quadratic expressions to finish the factorization.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here are some examples of factorization of polynomials of degree \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" 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\u003e\u003c/div\u003e  In general, you factorize polynomials like this:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  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\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"wide\\\"\u003e  \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   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For example, when you have a quadratic function that touches the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis in just one point \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e, you write the factorization like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                      \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003eth-degree polynomials have a maximum of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e solutions, but they can also have fewer. For example, a cubic polynomial has either one, two, or three real solutions. In cases with only one real solution, the factorization looks like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                     \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is the only real solution to the cubic polynomial. The entire graph of the function \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e lies above the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis,                                                                                                                                                                                                                                          which means it doesn’t produce any solutions. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1253\\\"\u003e   \u003ca   id=\\\"x1-513081x\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-513081xdoc\\\"\u003e\u003c/a\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003epolynomial\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eBecause \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is not present in all of the terms, you have to guess at solutions. Let’s start with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                     \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e 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That means you can perform the polynomial long division \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polynomialfactorizationeng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of x^3+2x^2-5x-6 divided by x+1\\\" width=\\\"220\\\" height=\\\"220\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou have found an expression of degree 2, just like you wanted. You can now factorize this like you always have, either with the quadratic formula, or through inspection. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFinding \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e               \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e              \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e            \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e          \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e         \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e       \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e     \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                          \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ewhich gives you \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. That means the factorization of the quadratic expression is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNow, you can set up the finished factorization of the cubic expression, which is \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                    \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1254\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTo solve equations like these, you begin by moving everything around to get zero on the right-hand side of the equation. In this case, that has already been done. Next, you factorize the expression on the left-hand side. As this is the same polynomial you had in \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eExample 1\u003c/a\u003e, it is the following:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                         \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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\u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. If you use this on the factors in the equation, you get that  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  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             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e   which means the solutions to the equation are \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"isRootPath\":false,\"h1\":\"How to Factorize Polynomials of Degree 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The most important methods for this are polynomial long division and the quadratic formula.\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy80MDZmYWN0b3JpemF0aW9ucG9seW5vbWlhbHMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"taskReference\":null,\"image\":{\"type\":\"px\",\"dimension\":\"width\",\"value\":220,\"url\":\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polynomialfactorizationeng.svg\",\"alt\":\"Polynomial long division of x^3+2x^2-5x-6 divided by x+1\",\"_key\":\"06d07516-0514-55e2-b647-91e720412e04\"},\"siblings\":[{\"h1\":\"How to Simplify Fractions with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\"},{\"h1\":\"How to Multiply Fractions with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-multiply-fractions-with-variables\"},{\"h1\":\"How to Divide Fractions by Canceling\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-divide-fractions-by-canceling\"},{\"h1\":\"How to Add and Subtract Fractions with x in the Denominator\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-add-and-subtract-fractions-with-x-in-the-denominator\"},{\"h1\":\"How to Factor Variable Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\"},{\"h1\":\"How to Factorize and Simplify Fractions with Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factorize-and-simplify-fractions-with-variables\"},{\"h1\":\"How to Factorize Polynomials of Degree 3 and 4\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factorize-polynomials-of-degree-3-and-4\"},{\"h1\":\"How are Rational Expressions Simplified?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-are-rational-expressions-simplified\"}]},\"level\":\"21\",\"metaDescription\":\"Learn how to factorize polynomials of degree 3 and higher. The most important methods for this are polynomial long division and the quadratic formula.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Factorize Polynomials of Degree 3 and 4\"},{\"name\":\"How are Rational Expressions Simplified?\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you are \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003esimplifying\u003c/a\u003e a rational expression, you often use \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/polynomial-long-division/what-is-polynomial-long-division\\\"\u003epolynomial long division\u003c/a\u003e. In that case, the answer to the polynomial long division is the simplification you’re looking for. There are two important cases to make a note of: \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThe case where the polynomial long division is solvable and the expression can be         simplified.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThe case where the polynomial long division is \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003enot \u003c/span\u003esolvable, and simplifying the         expression is \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003enot \u003c/span\u003epossible. \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1255\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSimplifying\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRational\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eExpressions\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eRational expressions are factorized by doing one of these things: \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         You         factorize         the         numerator         and         denominator         by         themselves         and         cancel         common         factors.         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis         method         is         often         helpful         when         the         degree         of         the         numerator         is         the         same         as         or         lower         than         the         degree         of         the         denominator.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         You         perform         polynomial         long         division,         where         the         answer         to         the         division         is         the         simplified         expression.         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis         method         is         helpful         when         the         degree         of         the         numerator         is         higher         than         the         degree         of         the         denominator.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Below are examples illustrating this. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-514000\\\"\u003e\u003c/a\u003eThe Expression Can Be Simplified\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     If the degree of the numerator is \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ehigher \u003c/span\u003ethan the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/powers/what-are-the-power-rules-for-variables\\\"\u003edegree\u003c/a\u003e in the denominator, you will want to use polynomial long division. If the division is solvable without a remainder, you have simplified your expression. The result of the division is the simplified expression. If the polynomial long division is not solvable, the expression can’t be simplified. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     If the degree of the numerator is \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003elower \u003c/span\u003ethan the degree of the denominator, you should try                                                                                                                                                                                                                                          to factorize the numerator and the denominator by themselves. A clever way to do this is to find the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/how-to-calculate-zeros-or-roots-of-a-function\\\"\u003ezeros of the quadratic expression\u003c/a\u003e and check whether they are zeros of the other polynomial as well. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1256\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSimplify\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eexpression\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e         \u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e        \u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can see that the numerator is of a higher degree than the denominator. That means you should proceed with polynomial long division: \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/simplifyrationalexpression1eng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of x^3+2x^2-5x-6 divided by x-2\\\" width=\\\"250\\\" height=\\\"250\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou get no remainder, and the simplified expression is \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                    \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e          \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e          \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1257\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWrite the expression\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                    \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e    \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eas\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003esimply\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eas\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003epossible\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe degree of the numerator is lower than the degree of the denominator, which means you should try to \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorize\u003c/a\u003e the numerator and the denominator by themselves. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou start with the numerator, which is a quadratic expression. Through inspection or the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic formula\u003c/a\u003e, you find the zeros to be \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, which means the factorization is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNext, you need to factorize the cubic expression in the denominator. Now is a good time to check whether any of the zeros you found for the numerator are zeros of the denominator as well. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou check \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e first:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                     \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace 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           \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  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You can use this to carry out polynomial long division \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" 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see that  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e 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looking like this: \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e    \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  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    \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-515000\\\"\u003e\u003c/a\u003eThe Expression Cannot Be Simplified\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1259\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eWhy\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRemainder\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMakes\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSimplification\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eImpossible\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTo simplify a rational expression, you need to have a common factor between the numerator and the denominator. When the division is not solvable, the numerator and denominator have no common factors, which means there are no common factors to cancel! \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1260\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 4\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSimplify\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eexpression\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e     \u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e    \u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eAs the numerator is of a higher degree than the denominator, you begin with polynomial long division: \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/simplifyrationalexpression3eng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of 4x^2+x+6 divided by x-2\\\" width=\\\"230\\\" height=\\\"230\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou get a remainder of 24, which means you can’t simplify the expression any further. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra\",\"h1\":\"Basic Algebra\",\"_key\":\"18bcbbb3-f967-5f3d-8d88-7c336562ad44\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization\",\"h1\":\"Fractions and Factorization\",\"_key\":\"9f65a648-81b7-5da0-9ffd-638880ed7b92\"},{\"_key\":\"72b4dddc-2739-56f6-a843-265171560e3a\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-are-rational-expressions-simplified\",\"h1\":\"How are Rational Expressions Simplified?\"}],\"siblings\":[{\"h1\":\"How to Simplify Fractions with 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“Quadratic Expressions”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/what-is-algebra\\\"\u003ealgebra\u003c/a\u003e, three identities are essential for \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-factorize-quadratic-expressions\\\"\u003efactorizing quadratic expressions\u003c/a\u003e. These are known as the first algebraic identity, the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-second-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\\\"\u003esecond algebraic identity,\u003c/a\u003e and the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-third-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\\\"\u003ethird algebraic identity\u003c/a\u003e of quadratic expressions. Let’s look at the first algebraic identity of quadratic expressions. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The algebraic identities help you multiply the terms in parentheses quickly, factorize some types of expressions, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003esolve some types of equations,\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003esimplify some types of fractions\u003c/a\u003e. In other entries I will go through all the different areas in particular, but let’s now look at the first algebraic identity of quadratic expressions. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooformula\\\" id=\\\"tcolobox-1262\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Formula\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"formula-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFirst\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eAlgebraic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eIdentity\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eExpressions\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                             \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The first algebraic identity consists of a left-hand side expression, an equal sign and a right-hand side expression. This means that you can transform the expression on the left-hand side to the expression on the right-hand side, and from the expression on the right-hand side to the expression on the left-hand side. But first let’s see why the two sides are equal: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIn the first example, I will rewrite the left-hand expression so it becomes the expression on the right-hand side. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1263\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eExpand\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                                                                        \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ebecause \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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\u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  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class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     But what happens when you go the opposite way— from the right-hand side of the formula to the left-hand side? You should use the first algebraic identity to turn an expression into a multiplication problem. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You can actually use the first algebraic identity to factorize quadratic expressions. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1264\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about using the first algebraic identity for factorization? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/5/4/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Algebraic Factorization”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1265\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eLet’s look at why this is true. The first algebraic identity says that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThen you have to find a value for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and a value for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. You do this by taking the positive \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/how-square-roots-work\\\"\u003esquare root\u003c/a\u003e of the first and last terms, and then check that the middle term is correct: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                               \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIf \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, then you’re done: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                             \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSince the middle term is correct, you know that: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"siblings\":[{\"h1\":\"The First Algebraic Identity of Quadratic Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-first-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\"},{\"h1\":\"The Second Algebraic Identity of Quadratic Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-second-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\"},{\"h1\":\"The Third Algebraic Identity of Quadratic Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-third-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\"},{\"h1\":\"What Is the Formula for Completing the Square?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/what-is-the-formula-for-completing-the-square\"}],\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-first-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\",\"type\":\"encyclopedia\",\"h1\":\"The First Algebraic Identity of Quadratic Expressions\",\"locale\":\"en\",\"metaDescription\":\"Learn the first algebraic identity of quadratic expressions and how to use it to expand the square of a sum or to factorize quadratic expressions.\",\"isRootPath\":false,\"sharedLanguageKey\":null,\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra\",\"h1\":\"Basic 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                                                                                                                                               \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about the second algebraic identity of quadratic expressions? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/4/1/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Quadratic Expressions”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In this entry you will look at the second algebraic identity of quadratic expressions. The algebraic identities help you expand parentheses quickly, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-factorize-quadratic-expressions\\\"\u003efactorize some types of expressions,\u003c/a\u003e \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003esolve some types of equations,\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003esimplify some types of fractions.\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In other entries, I will go through all the different areas, but let’s focus on the second algebraic identity for now. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1267\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSecond\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eAlgebraic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eIdentity\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eExpressions\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                             \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The second algebraic identity consists of a left-hand side expression, an equal sign and a right-hand side expression. This means that you can transform the expression on the left-hand side to the expression on the right-hand side, and the expression on the right-hand side to the expression on the left-hand side. But first let’s see why the two sides are equal: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIn the first example, you will rewrite the expression on the left so it becomes the expression on the right-hand side. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1268\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eExpand\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                                                                        \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ebecause \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  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\u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     But what happens when you go the opposite way— from the right-hand side of the formula to the left-hand side? You can use the second algebraic identity to turn an expression that is a collection of terms into a multiplication problem. You can actually use the second algebraic identity to factorize quadratic expressions. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1269\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about using the second algebraic identity for factorization? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/5/5/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Algebraic Factorization”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1270\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" 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\u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eLet’s look at why this is true: The second algebraic identity says that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e 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display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. You do this by taking the positive \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/how-square-roots-work\\\"\u003esquare root\u003c/a\u003e of the first and last terms, and then check that the middle term is correct: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                               \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" 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class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" 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watch animated videos and solve interactive exercises about the third algebraic identity of quadratic expressions? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/4/2/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Quadratic Expressions”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In addition to the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-first-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\\\"\u003efirst\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-second-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\\\"\u003esecond algebraic identities\u003c/a\u003e of quadratic expressions, the third algebraic identity is very important. In this entry you will learn about that third algebraic identity. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     These algebraic identities help you to expand \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/parentheses/how-to-expand-parentheses-with-variables\\\"\u003eparentheses\u003c/a\u003e quickly, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorize some types of expressions\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003esolve some types of equations\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003esimplify some types of fractions\u003c/a\u003e. In other entries I will go through all the different areas, but let’s focus on the third algebraic identity for now. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooformula\\\" id=\\\"tcolobox-1272\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Formula\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"formula-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThird\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eAlgebraic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eIdentity\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eExpressions\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                             \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The third algebraic identity consists of a left-hand side expression, an equal sign and a right-hand side expression. This means that you can transform the expression on the left-hand side into the expression on the right-hand side, and from the expression on the right-hand side into the expression on the left-hand side. But first let’s see why the two sides are equal: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                     \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#E60000\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#E60000\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIn the first example, you will rewrite the left expression to make it into the expression on the right-hand side. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1273\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  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                                                                                   \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ebecause \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" 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class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                  \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Keep note that the middle term disappears because the parentheses have different signs in front of the last term. But what happens when you go the opposite way— from the right-hand side of the formula to the left-hand side? You can use the third algebraic identity to turn an expression that’s a collection of terms into a multiplication problem. You can actually use the third algebraic identity to factorize quadratic expressions. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1274\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about using the third algebraic identity for factorization? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/5/6/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Algebraic Factorization”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1275\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  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mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  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should be your new best friend! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1276\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis example is often used on tests and exams. Follow carefully when I factorize \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003esince \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. So don’t get tricked! \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"taskReference\":null},\"level\":\"25\",\"metaDescription\":\"Learn the third algebraic identity of quadratic expressions and how to use it to factorize the difference between two squares or expand parentheses.\",\"metaDescriptionActivity\":null},{\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"What Is the Formula for Completing the Square?\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/01 Basic Algebra/05 Algebraic Identities/504CompletingTheSquare.tex\",\"language\":\"en\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy81MDRjb21wbGV0aW5ndGhlc3F1YXJlLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJ2ZXJzaW9uIjozfQ==\",\"taskReference\":null,\"siblings\":[{\"h1\":\"The First Algebraic Identity of Quadratic Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-first-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\"},{\"h1\":\"The Second Algebraic Identity of Quadratic Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-second-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\"},{\"h1\":\"The Third Algebraic Identity of Quadratic Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-third-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\"},{\"h1\":\"What Is the Formula for Completing the Square?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/what-is-the-formula-for-completing-the-square\"}],\"isRootPath\":false,\"title\":\"What Is the Formula for Completing the Square?\",\"type\":\"encyclopedia\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra\",\"h1\":\"Basic Algebra\",\"_key\":\"18bcbbb3-f967-5f3d-8d88-7c336562ad44\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities\",\"h1\":\"Algebraic Identities\",\"_key\":\"b219199d-68d6-5b50-98f9-33062d39f377\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/what-is-the-formula-for-completing-the-square\",\"h1\":\"What Is the Formula for Completing the Square?\",\"_key\":\"374297a6-1946-5d3c-a71b-d30d606accbd\"}],\"image\":null,\"locale\":\"en\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eCompleting the square \u003c/span\u003emeans adding two extra terms so you can write quadratic expressions in another way. The purpose of this is to make the expression simpler and easier to analyze. Here is how you remember the method: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1277\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMnemonic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDevice\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCompleting\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSquare\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Halve         it         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Square         it         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Add         it         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Subtract         it         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e If you add and subtract the same number, you don’t really change the value of the expression! \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     A quadratic expression is in the form \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You make the expression involving \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e’s into a square when you write it in this form: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ed\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     so that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                     \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ed\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ed\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, the expression is a perfect square, which is an expression where you can use the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-first-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\\\"\u003efirst\u003c/a\u003e or \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/the-second-algebraic-identity-of-quadratic-expressions\\\"\u003esecond algebraic identity of quadratic expressions\u003c/a\u003e. So you’re using these algebraic identities, only                                                                                                                                                                                                                                          backwards. Here is how you do it, and the final \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-formulas-for-specified-variables\\\"\u003eformula\u003c/a type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1278\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCompleting\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSquare\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSay you have an expression on the form \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and are supposed to complete the square. First you factor out the coefficient \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and write the expression in the form \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e. This step can be ignored in the case where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"description\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eHalve it:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"description\\\"\u003e       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/math\u003e          is         the         number         in         front         of         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-term         inside         the         parentheses.         Divide         this         by         2.         Then         you         get         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSquare it:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"description\\\"\u003e       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/math\u003e          is         going         to         be         squared.         You         then         get         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eAdd it:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"description\\\"\u003e       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTake         this         expression,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e,         and         add         it         after         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-term.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSubtract it:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"description\\\"\u003e       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTake         the         same         expression,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e,         and         subtract         it         after         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe whole expression looks like this:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  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\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e  Since \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e you know that this function has a minimum. The \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value then becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e which gives us \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/math\u003e. The \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ed\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/math\u003e. Then the minimum of the function has the following coordinates: \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"metaDescription\":\"Learn what the steps are in completing the square and see examples of the formula being used. Complete the square to simplify quadratic expressions.\",\"sharedLanguageKey\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/algebraic-identities/what-is-the-formula-for-completing-the-square\",\"h1\":\"What Is the Formula for Completing the Square?\"},\"level\":\"26\",\"metaDescription\":\"Learn what the steps are in completing the square and see examples of the formula being used. Complete the square to simplify quadratic expressions.\"},{\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"Why You Need Equations\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"title\":\"Why You Need Equations\",\"h1\":\"Why You Need Equations\",\"taskReference\":null,\"sharedLanguageKey\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/why-you-need-equations\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8xMDF3aHllcXVhdGlvbnMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It’s important to understand and master \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequations\u003c/a\u003e, because you’ll use them frequently while you’re learning mathematics in school. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     There are several reasons why it’s important to know how to solve equations. The most important one is the problem solving strategies you learn by working through them. It helps train your brain to think. Solving equations is a way of thinking that you will benefit from unconsciously in other parts of your life. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     An example of this is when you’re grocery shopping. You might wonder whether you have the money to buy one more item. In that case, you add together the price of the things you’re already buying, and you compare that sum with the money in your pocket. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     To figure out whether you have enough money to buy the last item, this is what you would do: \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/addition-and-subtraction/how-to-subtract-using-the-column-method\\\"\u003eSubtract\u003c/a\u003e the price of the items you already have from the money you have in your pocket.                                                                                                                                                                                                                                          If that difference is greater than the price of the last thing you want to buy, you can buy it. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In this situation, the difference between the money in your pocket and the price of the items you’re already buying is the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eunknown, \u003c/span\u003ealso known as the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003evariable. \u003c/span\u003eThis is the unknown we call \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e when we create an equation. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     As you work with equations, you’ll need to translate problems written entirely in text into mathematical expressions. Then you’ll see that equations are pretty useful! \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cpicture\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTdfcGNfcm9tZmVyZ2UucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTdfcGNfcm9tZmVyZ2UucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTdfcGNfcm9tZmVyZ2UucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTdfcGNfcm9tZmVyZ2UucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003cimg srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMTdfcGNfcm9tZmVyZ2UucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\" alt=\\\"A computer, a space shuttle, a doctor and a pile of cash next to each other.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\\n      \u003c/picture\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1282\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYour computer is the world’s best solver of equations. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe world around you is overflowing with equations. The reason you don’t notice it is that the computers are solving them all for you. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eUnfortunately, regular computers are man-made, and for that reason they can’t do anything other than what they’re told. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     For example, large sets of equations are used when a video game makes its characters look and move like actual humans instead of like stick figures. The traffic lights you see every day are controlled by equations. In the world of economics, being able to solve equations is one of the most important traits you can have. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You use equations without thinking about it, even when it comes to your allowance. Look at this equation: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                     \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eSaved money\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eallowance\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003etoys\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It’s important to be sure that you are in full control when it comes to equations. For every grade you move up, the theory behind equations will be expanded on, with new rules to take into account. To understand and master those, you need a solid foundation from your earlier                                                                                                                                                                                                                                          years. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Remember: It’s difficult to build a house from the third floor if the floors below don’t exist! \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"breadcrumbs\":[{\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\"},{\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"_key\":\"ec8cfc0c-d586-5ca4-abda-92911b70eb65\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations\",\"h1\":\"Linear Equations\"},{\"_key\":\"80f0d943-676c-5c68-ba1a-b16f4b77f86e\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/why-you-need-equations\",\"h1\":\"Why You Need Equations\"}],\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/01 Linear Equations/101WhyEquations.tex\",\"metaDescription\":\"Learn about how equation solving is used everywhere, all the time. 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An equation is made up of a left hand side and a right hand side, separated by an equal sign. Here’s an example of an equation: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                    \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     What  number  do  you  have  to  replace \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e with to make the left hand side equal to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e? Or put another way: What do you have to add to                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e? \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cpicture\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMThfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMThfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMThfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMThfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003cimg srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMThfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\" alt=\\\"Scales at equilibrium with x+3 in one scale and 5 in the other.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\\n      \u003c/picture\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis equation looks really easy. Maybe you’re wondering why you even need to bring a variable into this to find the answer. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The reason is that, as you get more comfortable with equations, the expressions on both sides of the equal sign will grow bigger and more difficult to keep tabs on. When that happens, you might not be able to find the value of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e just                                                                                                                                                                                                                                          by thinking about it. That’s why we’ve developed rules to make the process much easier. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you work with equations, we call it \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esolving \u003c/span\u003eequations. What you want to focus on, when you’re trying to find the value of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, is to keep the scales above balanced. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqathink\\\" id=\\\"tcolobox-1284\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWhat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ehappens\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eto\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003escales\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eif\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyou\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eswitch\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003enumber\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003e1?\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe left scale becomes \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                              \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eBecause \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is  less than \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,  the left scale will be lighter than the right scale. Then the right scale will fall towards the  ground, and the scales won’t be balanced anymore.  \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWhat happens to the scales if you switch\u003c/span\u003e  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e  \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe number 7?\u003c/span\u003e  \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe left scale becomes \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                             \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSince \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is  greater than \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,  the left scale will be heavier than the right scale. Then the left scale will fall towards the  ground, and the scales won’t be balanced anymore.  \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWhat happens to the scales if you switch\u003c/span\u003e  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e  \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe number 2?\u003c/span\u003e  \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe left scale becomes \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                              \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis means that the scales are balanced when  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e! The value of the left hand  side is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and the value of  the right hand side is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.  We’ve reached our goal! \u003c/p\u003e                                                                                    \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"sharedLanguageKey\":null,\"h1\":\"What Is an Equation?\",\"breadcrumbs\":[{\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"h1\":\"Linear Equations\",\"_key\":\"ec8cfc0c-d586-5ca4-abda-92911b70eb65\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\",\"h1\":\"What Is an Equation?\",\"_key\":\"5c1d9062-9495-521a-a4a5-120258ad86ae\"}],\"siblings\":[{\"h1\":\"Why You Need Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/why-you-need-equations\"},{\"h1\":\"What Is an Equation?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\"},{\"h1\":\"What Is a Variable?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-a-variable\"},{\"h1\":\"How to Solve Equations (Change  Sides, change sign)\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-equations-change-sides-change-sign\"},{\"h1\":\"How to Get Rid of the Number in Front of x\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-get-rid-of-the-number-in-front-of-x\"},{\"h1\":\"How to Solve Linear Equations (Combined Methods)\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-linear-equations-combined-methods\"},{\"h1\":\"How to Get Rid of the Number Under x\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-get-rid-of-the-number-under-x\"},{\"h1\":\"How to Solve Equations with Parentheses\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-equations-with-parentheses\"},{\"h1\":\"How to Solve Formulas for Specified Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-formulas-for-specified-variables\"}],\"metaDescription\":\"See what an equation looks like. 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\u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/algebraic-expressions/1/2/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Elementary Algebra”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Because mathematics is a language, it’s really important to learn the vocabulary in order to be able to “speak it.” When you’re working with equations, you need to learn the what a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003evariable \u003c/span\u003eis, and the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-equations-change-sides-change-sign\\\"\u003echange side, change sign rule\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-516000\\\"\u003e\u003c/a\u003eVariable\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In mathematics, variables are written as letters. The reason for this is that the value of a variable can vary, so it wouldn’t make sense to assign numbers to them right away. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In an equation, the right-hand side (RHS) and the left-hand side (LHS) will                                                                                                                                                                                                                                          always be equal to each other. That’s why when you do something on one of the sides, you have to do the same on the other side as well, or the scales will become unbalanced. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cpicture\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMjBfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMjBfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6IndlYnAifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMjBfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMjBfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6MjQwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003cimg srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3MxMjBfdmVrdHNrYWFsZXIucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsImVkaXRzIjp7InJlc2l6ZSI6eyJ3aWR0aCI6NDUwLCJ0b0Zvcm1hdCI6InBuZyJ9fX0=\\\" alt=\\\"Two scales showing how an equation must be balanced.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\\n      \u003c/picture\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     But what does it mean to “do something” to an equation? The first things you shall learn to do with equations is use the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echange side, change sign\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003erule\u003c/span\u003e. You’ll also learn how to \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-get-rid-of-the-number-in-front-of-x\\\"\u003eget rid of numbers in front of the variable \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e.                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1286\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe goal of solving an equation is to find the value of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou find the value of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e by getting it to stand alone on one side of the equation. “Change side, change sign” and “getting rid of numbers in front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e” are rules you can apply to isolate \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Isolating \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e means that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is alone on one side of the equation, \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cpicture\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" 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Equations (Combined Methods)\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-linear-equations-combined-methods\"},{\"h1\":\"How to Get Rid of the Number Under x\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-get-rid-of-the-number-under-x\"},{\"h1\":\"How to Solve Equations with Parentheses\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-equations-with-parentheses\"},{\"h1\":\"How to Solve Formulas for Specified Variables\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-formulas-for-specified-variables\"}],\"sharedLanguageKey\":null,\"title\":\"How to Solve Equations (Change  Sides, change 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href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/2/2/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Linear Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You now know that equations have to be balanced. That means that if you do something on one side of an equation, you have to do the same on the other side as well, to keep it from getting out of balance. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In order to isolate \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, you’ll want to add or subtract things to get rid of a term on one side of the equation. This is what you do: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1288\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSubtracting\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eBoth\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSides\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e You want to remove the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e on the left side (LS). If you subtract \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e from the LS, the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e disappears. You have to subtract the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e you subtracted from the left side from the right side (RS) as well. That means that the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e showed up on the other side of the equal sign, but with the opposite sign!                    \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1289\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eAdding\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eBoth\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSides\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e You want to remove the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e on the LS. If you add \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e to the LS, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e disappears. The \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e you added to the LS has to be added to the RS as well. That means that the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e showed up on the other side of the equal sign, but with the opposite sign!                    \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     There is a simpler way than subtracting or adding on both sides. That method is called \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echange sides, change sign\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1290\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eChange\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSides,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003echange\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003esign\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMethod\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Change         sides         of         the         term         you         want         to         remove         so         that         it’s         on         the         other         side         of         the         equal         sign.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Change         the         sign         of         the         term         you         just         moved.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1291\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePositive\u003c/span\u003e \u003cspan  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\u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace 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We \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echange the sign \u003c/span\u003eso that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.   \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1292\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 4\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNegative\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eChange\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSides,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eChange\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSign,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eto\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePositive\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echanged to the RS \u003c/span\u003eof the equation. We \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echange its sign \u003c/span\u003eso that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.   \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-517000\\\"\u003e\u003c/a\u003eWhy Can You Change Sides, change sign?\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Why can you just change sides, change sign, as much as you like? Imagine that the scales are balanced. When you move a term over to the other scale, you would think it would get heavier, but because you change the sign at the same time, it’s like that same term was removed from or added to the other side of the scale as well! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1293\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe change sides, change sign rule is a simplified way of completing the same action on both sides of the equal sign. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eMath is amazing that way—when you learn new rules, your life becomes easier! \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1294\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 5\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the equation \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                    \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                 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                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1295\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 6\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the equation \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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This is the key to solving equations.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null},{\"assets\":null,\"name\":\"How to Get Rid of the Number in Front of x\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/01 Linear Equations/105GetRidOfNumberFrontX.tex\",\"sharedLanguageKey\":null,\"type\":\"encyclopedia\",\"locale\":\"en\",\"htmlContent\":{\"html\":\"                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1298\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about the removing numbers in front of x? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/2/3/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Linear Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You have now learned how to move a term from one side of an \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequation\u003c/a\u003e to another. But what can you do when you are left with a number in front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e? You will learn what to do here. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It is important to remember that multiplication and division are \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003einverse operations.\u003c/span\u003e What multiplication does, division can undo, and vice versa. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1299\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRemove\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumber\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ein\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFront\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen you have a number multiplied by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, you need to divide both sides of the equation by that number to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e on its own. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you divide in an equation, you need to divide both sides of the equation by the same number. Here is a way to do it that will make it easy. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1300\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca   id=\\\"x1-5170091\\\"\u003e\u003c/a\u003e         Move         all         the         terms         that         only         consists         of         numbers         to         the         right         hand         side.         Remember         to         change         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         on         the         terms         that         move         across         the         equal         sign.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca   id=\\\"x1-5170102\\\"\u003e\u003c/a\u003e         Move         all         the         terms         with         the         unknown         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       to         the         left         side         of         the         equation.         Remember         to         change         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         on         the         terms         you         move         across         the         equal         sign.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca   id=\\\"x1-5170113\\\"\u003e\u003c/a\u003e         Simplify         both         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca   id=\\\"x1-5170124\\\"\u003e\u003c/a\u003e         Divide         both         sides         by         the         number         in         front         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1301\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  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When you do something to one side, you have to do the same thing to the other side. With \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echange sides,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echange sign\u003c/span\u003e, this happens behind the scenes, so don’t worry if it doesn’t look exactly like you’re used to at first. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1304\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eChange\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSides,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eChange\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSign\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMethod\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Take         the         term         you         want         to         get         rid         of         and         change         it         to         other         side         of         the         equal         sign.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Change         the         sign         of         that         term.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch3 class=\\\"subsection-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-519000\\\"\u003e\u003c/a\u003ePlus Change Sides, Change Sign, to Minus\u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  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\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e We move \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e to the RS of the equation. Then we change the sign so that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch3 class=\\\"subsection-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-520000\\\"\u003e\u003c/a\u003eMinus Change Sides, Change Sign, to Plus\u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e We move \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e to the RS of the equation. We change the sign so that                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1305\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about the removing numbers in front of x? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/2/3/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Linear Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-521000\\\"\u003e\u003c/a\u003eTo Get Rid of the Number In Front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It’s important to remember that multiplying and dividing are \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003einverse \u003c/span\u003earithmetic operations. What multiplying can do, dividing can undo, and vice versa. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1306\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eGet\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRid\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumber\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eIn\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFront\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen you have a number multiplied by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, you have to divide by that exact number on both sides of the equation to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e to stand alone. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1307\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         all         the         terms         that         are         only         numbers         to         one         side.         Remember         to         change         signs.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         the         terms         that         have         an         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         them         to         the         side         you         didn’t         put         the         numbers         on.         Remember         to         change         signs.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Simplify         the         terms         on         each         side.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Divide         both         sides         by         the         number         that’s         left         in         front         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1308\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003erespect\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eto\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath 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Now you’ll learn how to get rid of a number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is divided by. It’s important to keep in mind that multiplication and division are inverse arithmetic operations. What multiplying can do, dividing can undo, and vice versa. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1313\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eGet\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRid\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumber\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eIs\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDivided\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eBy\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen you have \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e divided by a number, you have to multiply both sides of the equation by that exact number to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e to stand alone. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When multiplying in equations, you have to multiply both sides of the equation with the same number. Here’s a recipe that will make it easy for you: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1314\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRecipe\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Change         all         the         terms         that         are         only         numbers         to         one         side.         Remember         to         change         sign.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Change         the         terms         that         have         an         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         them         to         the         side         you         didn’t         put         the         numbers         on.         Remember         to         change         sign.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Simplify         the         terms         on         each         side.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         both         sides         by         the         number         that         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       is         divided         by.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1315\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e   \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace 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Learn how to solve equations with parentheses in this entry.\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8xMDhlcXVhdGlvbnN3aXRocGFyZW50aGVzZXMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1317\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about solving equations containing parentheses? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/2/5/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Linear Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     To understand these concepts, you need to be comfortable with \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/how-to-multiply-numbers-with-variables\\\"\u003emultiplying numbers by variables\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/how-to-add-and-subtract-variables\\\"\u003eadding variables together\u003c/a\u003e, and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/parentheses/how-to-expand-parentheses-with-variables\\\"\u003eresolving parentheses\u003c/a\u003e. You’re now going to use these skills to solve \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequations\u003c/a\u003e. That means the rules for equations are still in play. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Before you start changing sides and changing sign, and getting \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e to stand alone, you have to use what you know about \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/what-is-algebra\\\"\u003ealgebra\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/calculation-order/order-of-operations-pemdas\\\"\u003ePEMDAS\u003c/a\u003e. Here’s a recipe, with examples to follow. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1318\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Think         PEMDAS!         First,         resolve         the         parentheses.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         all         the         terms         with         only         numbers         to         one         side         of         the         equation.         Remember         to         change         signs         on         numbers         you         move.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         all         the         terms         with         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         them         to         the         side         without         any         numbers.         Remember         to         change         signs         on         the         terms         you         move.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Simplify         the         terms         on         both         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         or         divide         on         both         sides         by         the         number         preventing         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       from         standing         alone.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1319\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve the equation for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  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class=\\\"noindent\\\" \u003eIt’s important to think about negative numbers as fully-fledged, actual numbers. This means that it doesn’t matter if the number attached to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e has a minus sign or not. You should just follow the recipe and then multiply or divide by the number attached to the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1322\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve the equation for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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Learn how to solve equations with parentheses in this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null},{\"name\":\"How to Solve Formulas for Specified Variables\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"h1\":\"How to Solve Formulas for Specified Variables\",\"locale\":\"en\",\"language\":\"en\",\"metaDescription\":\"Equations with more than one variable are known as formulas. Learn the technique to manipulate the variables in a formula by studying this entry.\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     “Formula calculation” is a fancy name for solving \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequations\u003c/a\u003e with more than one variable. When solving equations like that, you will have one variable alone on the left side of the equation and all the other variables on the right side of the equation. But how do you know which variable should be alone on the left side? Usually, the problem will tell you what to solve for. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you do calculations with a formula, you use the exact same rules you are used to from solving equations: \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You change sides and change signs, and you multiply/divide all terms by the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factorize-and-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003efactors\u003c/a\u003e you want to remove. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1323\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eProblems for formula calculation are often worded like this: \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cul class=\\\"itemize1\\\"\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve         this         equation         with         respect         to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e       \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e       \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFind         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e       with         respect         to         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e       \u003c/li\u003e\u003c/ul\u003e                                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Let’s look at some examples to give you a sense of what we mean. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     I have chosen some formulas you have seen before. That way, you already have some knowledge of what they mean, and which variables are moved around. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1324\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle 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                                                                                \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1327\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 4\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eHow\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003efast\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003edid\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyou\u003c/span\u003e \u003cspan  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                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eHere, you need to use the formula from the last example. It is important that you get the correct time unit, so we transform 18 min into hours. You get \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"0.17em\\\" class=\\\"thinspace\\\"/\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003emin\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e\u003c/mtext\u003e\u003cmstyle  class=\\\"math\\\"\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmtext  \u003e h\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNow, you can insert the numbers into the formula for speed (or velocity, \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ev\u003c/span\u003e) from the previous example: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"alignat-star\\\"\u003e                                          \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003es\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e \u003cmo  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\u003ekm\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"0.17em\\\" class=\\\"thinspace\\\"/\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eh\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ev\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo class=\\\"MathClass-close\\\" fence=\\\"true\\\" mathsize=\\\"1.19em\\\" \u003e|\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"0.17em\\\" class=\\\"thinspace\\\"/\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eh\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                          \u003cmspace 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xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e km/h. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e Notice that you can cross-cancel words, for example units, in the same way you cross-cancel numbers and letters when you work with fractions. \u003c/p\u003e                                \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1328\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 5\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eg\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003eh\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e   \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e  \u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle 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                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 6\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eThe area of a circle with radius \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFind\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eformula\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eradius\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eas\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-are-functions-in-math\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003efunction\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003earea\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThink of this as an equation with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e as the unknown variable and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e as constants. Your goal is to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e on its own. We begin with dividing by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                    \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e    \u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNext, you take the square root of both sides to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e on its own: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e You can’t have a negative radius, so you only use the positive value of the square root. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFinally, you turn the expression to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e on the left hand side of the equation: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                     \u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"pi\\\"\u003eπ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou have now found a formula for the radius \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e as a function of the area \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eA\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1330\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 7\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eImagine\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyou\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ehave\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ecircle\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ean\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003earea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e\u003c/mtext\u003e\u003cmstyle  class=\\\"math\\\"\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmtext  \u003e\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.17em\\\" class=\\\"thinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003ecm\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWhat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eradius\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyour\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ecircle?\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou use the formula for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e that you found in \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eExample 6\u003c/a\u003e and input the area given in the assignment. That gives you \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmi  \u003er\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"0.17em\\\" class=\\\"thinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003ecm\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003c/mrow\u003e       \u003cmrow  \u003e\u003cmi   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                                                               \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"siblings\":[{\"h1\":\"Why You Need Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/why-you-need-equations\"},{\"h1\":\"What Is an Equation?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\"},{\"h1\":\"What Is a Variable?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-a-variable\"},{\"h1\":\"How to Solve Equations (Change  Sides, change sign)\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-equations-change-sides-change-sign\"},{\"h1\":\"How to Get Rid of the Number in Front of x\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-get-rid-of-the-number-in-front-of-x\"},{\"h1\":\"How to Solve Linear Equations (Combined 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You do not have to use the quadratic formula for these equations.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Solve Quadratic Equations Without a Linear Term\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"breadcrumbs\":[{\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\",\"h1\":\"Quadratic Equations\",\"_key\":\"c7b1eb67-db26-5a55-be7a-33c9fcc93c78\"},{\"_key\":\"ccef16f7-a594-512e-881b-6d516dd23697\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-solve-quadratic-equations-without-a-linear-term\",\"h1\":\"How to Solve Quadratic Equations Without a Linear Term\"}],\"language\":\"en\",\"metaDescription\":\"Learn a simple way of solving quadratic equations that lack  a constant term. You do not have to use the quadratic formula for these equations.\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Equations with \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/what-are-powers-in-math\\\"\u003epowers\u003c/a\u003e, or \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic equations\u003c/a\u003e, are really fun to solve when you don’t have a first degree term (a number on its own). \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You should be comfortable with \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/how-square-roots-work\\\"\u003esquare roots\u003c/a\u003e to be able to find the answer without any aids. You should also have control over \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-linear-equations-combined-methods\\\"\u003echange sides/change sign\u003c/a\u003e and know how to \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-get-rid-of-the-number-in-front-of-x\\\"\u003eget rid of a number in front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1331\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePowers\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe equation \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ehas the solutions \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     If you have a problem where the number inside the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/how-square-roots-work\\\"\u003esquare root\u003c/a\u003e is negative, the equation has no real solution, because you can’t take the square root of a negative number using normal means. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqathink\\\" id=\\\"tcolobox-1332\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWhy\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003edo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyou\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethink\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ecan’t\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003etake\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003esquare\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eroot\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003enegative\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003enumber?\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe  square  root  is  defined  as  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e.  Any  number  raised  to  the  power  of  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e  become  a  positive  number  because  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e.  This  means  that  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,  even  if  \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.  \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                 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\u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eNo real solutions.\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"taskReference\":null,\"image\":null,\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 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\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is called a quadratic expression, because the highest \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/what-are-powers-in-math\\\"\u003epower\u003c/a\u003e of any of the terms is 2. There are four methods for solving quadratic equations by hand:         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThe quadratic formula         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eSolving quadratic equations where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eSolving quadratic equations where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eSolving quadratic equations by inspection \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe results of these methods will always be the roots of the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-are-functions-in-math\\\"\u003efunction\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooformula\\\" id=\\\"tcolobox-1337\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFormula\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"formula-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFormula\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe quadratic formula can be used with all quadratic expressions. The roots are \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e          \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e        \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eQuadratic equations can have no solutions, one solution or two solutions. \u003c/p\u003e         \u003cul class=\\\"itemize1\\\"\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\" type=\\\"implication\\\"\u003e⇒\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     no         real         solutions,         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\" type=\\\"implication\\\"\u003e⇒\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     one         real         solution,         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\" type=\\\"implication\\\"\u003e⇒\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e     two         real         solutions. \u003c/p\u003e         \u003c/li\u003e\u003c/ul\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1338\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eExample 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFirst, you have to put all the nonzero terms on one side of the equal sign to get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e alone on the other side: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                            \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                            \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNext, you use the quadratic formula with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e                 \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  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\u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e         \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                         \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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the positive square root and the negative square root: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                           \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e       \u003cmrow  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mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1339\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eRule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  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1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factorize-and-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003eFactorize\u003c/a\u003e         the         expression         by         putting         an         x         outside         the         parentheses,         which         gives         you         a         product         in         the         form         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         That         means         you         can         do         this:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\" type=\\\"implication\\\"\u003e⇔\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         or         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1340\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eExample 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou factorize by taking \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e out of the parentheses: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThen you set up an equation for each factor: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                               \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThat will give you \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1341\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eRule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eWhere\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, the expression looks like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         the         constant         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       over         to         the         other         side.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Divide         by         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Take         the         square         root         of         both         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         You         have         a         positive         and         a         negative         solution.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1342\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eExample 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"1em\\\" class=\\\"quad\\\"/\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo class=\\\"MathClass-close\\\" fence=\\\"true\\\" mathsize=\\\"1.19em\\\" \u003e|\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1343\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eRule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquation\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eby\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eInspection\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou have \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. When you solve by inspection, you follow these two rules: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                    \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                         \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eHere, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e are the roots of the function, making them the solutions to the equation. \u003c/p\u003e                    \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1344\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eExample 4\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can see that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. You need to find values for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e that can get you the solution to the equation. There are multiple combinations of factors that give you the product \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Here are some of them: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                               \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eAs all of these products are \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, they are all candidates for the solution. For each of these products, we want a negative difference between the factors, because you are looking for the answer \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, a negative number. That means we set the differences up like this: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≠\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≠\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThat shows you that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ep\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eq\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e fits with the equation. According to the formula, that means \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                       \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e and \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ebecause you have to change the sign to find the solution. \u003c/p\u003e                                         \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e \"},\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8yMDJxdWFkcmF0aWNlcXVhdGlvbnMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"image\":null,\"h1\":\"How to Solve Quadratic Equations\",\"locale\":\"en\",\"metaDescription\":\"There are many ways to solve quadratic equations. 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Learn to use solutions to quadratic equations to factorize quadratic expressions.\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"_key\":\"c7b1eb67-db26-5a55-be7a-33c9fcc93c78\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\",\"h1\":\"Quadratic Equations\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-factorize-quadratic-expressions\",\"h1\":\"How to Factorize Quadratic Expressions\",\"_key\":\"a558e6e7-e9f9-56db-915d-28f7d4874813\"}],\"siblings\":[{\"h1\":\"How to Solve Quadratic Equations Without a Linear Term\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-solve-quadratic-equations-without-a-linear-term\"},{\"h1\":\"How to Solve Quadratic Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-solve-quadratic-equations\"},{\"h1\":\"How to Factorize Quadratic Expressions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-factorize-quadratic-expressions\"}],\"type\":\"encyclopedia\",\"language\":\"en\",\"htmlContent\":{\"html\":\"                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"minipage\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factorize-and-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003efactorize\u003c/a\u003e a quadratic expression \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e by finding its roots. To find those roots, just solve the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequation\u003c/a\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, which can be done with the help of one of these methods:         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eBy using \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ethe quadratic formula\u003c/span\u003e;         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eBy \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ecompleting the square\u003c/span\u003e;         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThrough \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003einspection\u003c/span\u003e, which means looking for solutions that fit the expression         without doing the entire calculation. \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1345\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eRule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFactorization\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFind the roots of the expression, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e. You can factorize the expression like this:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e \u003cmtable  class=\\\"gather-star\\\"\u003e \u003cmtr\u003e  \u003cmtd\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e       \u003cmtd\u003e\u003c/mtd\u003e \u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e  \u003cmtd\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e                      \u003cmtd\u003e\u003c/mtd\u003e \u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e  \u003cmtd\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e  \u003cmtd\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                        \u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e \u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"nopar\\\" \u003e \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"wide\\\"\u003e  \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                             \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e If the equation only has one solution \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e, that means that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e. In that case, the factorized expression will be: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                    \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIf the equation doesn’t have any solutions, the expression can’t be factorized. \u003c/p\u003e              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1346\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eExample 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e \u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFormula;\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTwo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eReal\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolutions\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eUse the quadratic formula. Here, we have \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, which gives us \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e                \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e              \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                        \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e               \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                   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\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                            \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" 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form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eThe third algebraic identity\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                            \u003cmspace 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form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTo factorize an expression by completing the square, we have to first use \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eone \u003c/span\u003eof the algebraic identities to complete the square, \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eand then \u003c/span\u003ethe third algebraic identity to finish the factorization. \u003c/p\u003e                                                                                                   \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1348\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eExample 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e \u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRecognize\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCompleted\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSquare;\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eOne\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eReal\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolution\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e2nd algebraic identity\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                     \u003cmspace 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\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"wide\\\"\u003e   \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e             \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmunder accentunder=\\\"false\\\"\u003e\u003cmrow\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e⏟\u003c/mo\u003e\u003c/munder\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eThe second algebraic identity\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIf a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic equation\u003c/a\u003e only has one real solution, the quadratic expression is a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ecomplete\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esquare. \u003c/span\u003eThat’s something we can look for when we attack a new quadratic equation. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1349\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eExample 4\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e \u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquation;\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eOne\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eReal\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolution\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFactorize\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e  \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eUse the quadratic formula. Here, we have \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e, which gives us \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e              \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                         \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  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That means you can’t factorize the expression.                                    \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e \"},\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/02 Quadratic Equations/203FactorizingQuadraticExpressions.tex\",\"sharedLanguageKey\":null,\"taskReference\":null,\"image\":null,\"isRootPath\":false},\"level\":\"38\",\"metaDescription\":\"The solution of quadratic equations can be used for factorization. Learn to use solutions to quadratic equations to factorize quadratic expressions.\",\"metaDescriptionActivity\":null},{\"encyclopediaArticle\":{\"sharedLanguageKey\":null,\"type\":\"encyclopedia\",\"siblings\":[{\"h1\":\"What Is Polynomial Long Division?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/polynomial-long-division/what-is-polynomial-long-division\"},{\"h1\":\"How to Solve Cubic and Quartic Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/polynomial-long-division/how-to-solve-cubic-and-quartic-equations\"}],\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/polynomial-long-division/what-is-polynomial-long-division\",\"language\":\"en\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8zMDFwb2x5bm9taWFsbG9uZ2Rpdmlzb24ucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"taskReference\":null,\"image\":{\"dimension\":\"width\",\"value\":250,\"url\":\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polynomialdivision1eng.svg\",\"alt\":\"Polynomial long division of x^3+2x^2-5x-6 divided by x-2\",\"_key\":\"0730f7c8-e7eb-57ea-9707-263f2ab620c4\",\"type\":\"px\"},\"title\":\"What Is Polynomial Long Division?\",\"metaDescription\":\"Polynomial long division is a method to divide a polynomial by another polynomial. Learn how to perform polynomial long division in this entry.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ePolynomial division \u003c/span\u003eis division with polynomials. A polynomial is the sum of a collection of terms on the form \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e∈\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eℝ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e (real numbers) and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e∈\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eℕ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e (natural numbers). This technique is very similar to the one you learned for regular division in elementary school. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Polynomial division often appears when you are factorizing polynomials of higher degrees, such as \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                             \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ed\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     or when you’re \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/types-of-functions/what-are-polynomial-functions\\\"\u003esolving higher degree polynomial equations\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     One of the most important tricks is to guess one of the roots of the expression. That may sound a little crazy, but you’re not just pulling arbitrary numbers out of a hat, you’re making a qualified guess. More specifically, \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eguessing a solution \u003c/span\u003emeans trying to insert numbers like \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                       \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     into the expression and seeing whether it becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It sounds odd to just guess at solutions, but don’t worry, because it’s pretty simple. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1351\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eImportant\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eInformation\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eAbout\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePolynomial\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDivision\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e      \u003cul class=\\\"itemize1\\\"\u003e      \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e      \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe         division         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       has         no         remainder         if         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.         This         also         means         that         if         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       is         a         solution         to         the         equation         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe         division         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e       \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e        \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003enot\u003c/span\u003e        without         a         remainder         when         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.         In         this         case,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e        \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003enot\u003c/span\u003e        a         solution         to         the         equation         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         and         you         will         get         a         remainder         when         you         perform         the         division. \u003c/p\u003e         \u003c/li\u003e\u003c/ul\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Polynomial division is easier to learn through examples than through cumbersome recipes. Here’s an example to check whether \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is a root, and some examples of polynomial division with explanations. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eDividend \u003c/span\u003eis the same as numerator, and \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003edivisor \u003c/span\u003eis the same as denominator. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1352\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eCheck\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eif\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003edivisible\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eby\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou know that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is divisible by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e if \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. That means you can just insert \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e into \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e to check. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                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Try doing it yourself as well, and see whether you get the same answer! \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polynomialdivision1eng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of x^3+2x^2-5x-6 divided by x-2\\\" width=\\\"250\\\" height=\\\"250\\\"\u003e\u003ca   id=\\\"x1-517014r0\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-517015r0\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-517016r0\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-517021r0\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-517022r0\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-517023r0\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-517024r0\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         First,         you         ask         yourself         “what         do         I         multiply         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       by         to         get         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e?”         The         answer         is         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           on         top         of         the         division,         and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           below         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           on         the         left         hand         side.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           by         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.         That         gives         you         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e.         Put         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           to         the         right         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           on         line         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         in         the         calculation.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Add         the         terms         on         line         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         to         the         similar         terms         above         them         on         line         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         and         pull         down         the         first         term         in         the         dividend         that         doesn’t         have         a         term         underneath         it         yet.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Repeat         this         process         until         you         you         run         out         of         terms         in         the         dividend.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         the         remainder         is         zero,         you         are         done.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     7.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         the         remainder         is         not         zero,         make         a         fraction         with         the         remainder         as         the         numerator,         and         the         divisor         as         the         denominator.         Add         that         fraction         to         the         expression         on         top         of         the         division,         which         is         your         answer.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1354\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"example-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePolynomial\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDivision\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRemainder\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFollow the steps below and make sure you understand the procedure. Try doing it yourself as well, and see whether you get the same answer! \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polynomialdivision2eng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of 2x^2-5x-6 divided by x-1\\\" width=\\\"200\\\" height=\\\"200\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         First,         ask         yourself         “What         do         I         multiply         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       by         to         get         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e?”         The         answer         is         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       on         top         of         the         division,         and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           below         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           on         the         left         side         of         the         dividend.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       by         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.         That’s         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e.         Put         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       to         the         right         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e           on         line         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         of         the         division.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Add         the         terms         on         line         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         to         the         similar         terms         above         them         on         line         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         and         pull         down         the         first         term         in         the         dividend         that         doesn’t         have         a         term         underneath         it.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Repeat         this         process         until         you         run         out         of         terms         in         the         dividend.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         the         remainder         is         zero,         you         are         finished.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     7.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         the         remainder         is         not         zero,         make         a         fraction         with         the         remainder         as         the         numerator,         and         the         divisor         as         the         denominator.         Add         that         fraction         to         the         expression         on         top         of         the         division,         which         is         your         answer.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1355\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 4\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eIf you have the polynomial division\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                 \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewhat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003evalues\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ecan\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ehave\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eso\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyou’re\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eleft\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eno\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eremainder?\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"container-subtitle\\\"\u003e Alternative 1 (harder) \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIn this method, you have to perform the polynomial division and set the remainder equal to zero to find \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polynomialdivision3eng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of ax^2-x+4 divided by x-1\\\" width=\\\"301\\\" height=\\\"301\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou set the remainder \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e equal to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and solve for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, which gives you \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. That means there is no remainder when \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"container-subtitle\\\"\u003e Alternative 2 (easier) \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIf the division \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e has no remainder, you know that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                          \u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ewhen \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. That means you can insert \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e to find \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" 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\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, the division \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e does not have a remainder. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis is considerably easier and faster than Alternative 1! \u003c/p\u003e                                         \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"isRootPath\":false,\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/03 Polynomial Long 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Learn how to perform polynomial long division in this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"What Is Polynomial Long Division?\",\"howContent\":null},{\"encyclopediaArticle\":{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/polynomial-long-division/how-to-solve-cubic-and-quartic-equations\",\"title\":\"How to Solve Cubic and Quartic Equations\",\"type\":\"encyclopedia\",\"metaDescription\":\"Learn how you can solve equations of a higher degree than 2, like cubic and quartic equations, by using polynomial long division, among other methods.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Earlier, you learned to solve \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003elinear equations\u003c/a\u003e (equations where the highest power is 1) and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic equations\u003c/a\u003e (equations where the highest power is 2). In this section you’ll learn to solve equations with powers of all possible values. You’ll mainly look at cubic and quartic equations—the method is the same for both. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1356\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTypes\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCubic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThe equation has \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in every term: \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                             \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e       \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThe equation has a constant: \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ed\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e       \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1357\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCubic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003cspan  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\u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       outside         the         brackets,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ec\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e 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\u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         if         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         or         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e).         You         then         get         that         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e           and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  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                                                   \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eYou’ll follow the method above and factorize         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e         outside the brackets:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e  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formula\u003c/a\u003e, or with         inspection.         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  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form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eFactorization of the cubic equation is then         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThen you solve the equation:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e \u003cmtable  class=\\\"gather-star\\\"\u003e \u003cmtr\u003e  \u003cmtd\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  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\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                                                                        \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   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                                                                                         \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1360\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCubic\u003c/span\u003e \u003cspan  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   cubic         equation,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  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factorization of the cubic equation is then \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                         \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  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mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e).         You’ll         then         get         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e           and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1361\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eFirst you move all the terms over to the left side.         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                           \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                           \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNow, you’ll have to guess a solution. Begin with         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e:         \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                      \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eLucky for you, the first solution you guessed was correct. (You often start with 1 when         you guess a solution, and this is why).         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNow you have to use polynomial long division on the equation with         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e. Because the expression lacks         the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e-term, you put in an extra         space where the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e-term would         have been, or put 0 in front of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e         in the long polynomial division. It’s easier to maintain control over the terms this way.         \u003c/p\u003e         \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/cubicequationeng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of x^3-7x+6 divided by x-1\\\" width=\\\"230\\\" height=\\\"230\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThe factorization is then \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                              \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eYou now have to factorize the quadratic expression         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         either with the quadratic formula, or with inspection. When you solve the equation         \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eyou get the answers \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Put them in the         factorization formula \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e         so that the factorization becomes \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eNow you can find the factorization of the cubic equation by making a product of the         factors:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                  \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace 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Read and learn the importance of systems of equations in this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"What Are Systems of Equations?\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1362\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about solving systems of equations? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/4/1/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Systems of Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cpicture\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL21hdHRlZGFtYV9saWtuaW5nMy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwiZWRpdHMiOnsicmVzaXplIjp7IndpZHRoIjo0NTAsInRvRm9ybWF0Ijoid2VicCJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL21hdHRlZGFtYV9saWtuaW5nMy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwiZWRpdHMiOnsicmVzaXplIjp7IndpZHRoIjoyNDAsInRvRm9ybWF0Ijoid2VicCJ9fX0=\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL21hdHRlZGFtYV9saWtuaW5nMy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwiZWRpdHMiOnsicmVzaXplIjp7IndpZHRoIjo0NTAsInRvRm9ybWF0IjoicG5nIn19fQ==\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL21hdHRlZGFtYV9saWtuaW5nMy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwiZWRpdHMiOnsicmVzaXplIjp7IndpZHRoIjoyNDAsInRvRm9ybWF0IjoicG5nIn19fQ==\\\"\u003e\\n      \u003cimg srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL21hdHRlZGFtYV9saWtuaW5nMy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwiZWRpdHMiOnsicmVzaXplIjp7IndpZHRoIjo0NTAsInRvRm9ybWF0IjoicG5nIn19fQ==\\\" alt=\\\"A blackboard with the equations 2x+y=5 and 1-y=5.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\\n      \u003c/picture\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     A system of equations is quite simply a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ecollection \u003c/span\u003eof equations. Until now you have been working with one equation with one variable (one unknown). Now you’ll learn how to solve two equations with two variables (two unknowns). \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In general, systems of equations can have as many unknowns as you want them to, but you need to have as many equations as unknowns to get a unique answer. In mathematics there in an entire field called linear algebra, which deals with solving systems of equations. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     So why do you need systems of equations? The answer is simple: Often several things are                                                                                                                                                                                                                                          dependent on each other, and then you need a tool that takes this into consideration. An example is buying children’s tickets and adults’ tickets at the same time. You know the total price of the tickets and how many tickets you bought, but what is the actual price of the two \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003edifferent \u003c/span\u003etypes of tickets? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You’re going to learn three methods for solving systems of equations: \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eSolving by graphing\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e, \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-substitution-method\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ethe substitution method\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-elimination-method\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ethe elimination method\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e. All of these methods do exactly the same thing: They solve two equations with two variables. It doesn’t really matter which method you use while solving problems, but you are expected to know all three. Solving by graphing is the easiest, so let’s begin with that one. But before you start learning about the different methods there are some things you need to be aware of. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1363\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eImportant\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethings\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eabout\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003etwo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eequations\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003etwo\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003evariables\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         The         solutions         of         linear         systems         of         equations         are         made         up         of         two         values:         an         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       value         and         a         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       value.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         These         two         values         are         the         first         coordinate         and         the         second         coordinate         of         the         intersection         of         the         two         graphs         created         by         your         equations.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         In         fact,         the         equations         you         are         given         can         be         rewritten         into         functions         you         can         draw         as         graphs         in         a         coordinate         system.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Whether         you         use         the         substitution         method         or         the         elimination         method,         you         will         have         two         values         in         your         solution.         These         two         values         can         always         be         thought         of         as         the         coordinates         of         the         intersection         of         the         two         graphs.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         you         can’t         find         a         solution,         it         means         the         graphs         are         parallel.         In         that         case         they         have         the         same         slope,         but         meet         the         second         axis         at         different         points.         Because         of         that         they         will         never         intersect.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         you         find         an         infinite         number         of         solutions,         it         means         that         the         graphs         are         identical.         That         means         that         they         have         the         same         slope,         and         meet         the         second         axis         at         the         \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esame\u003c/span\u003e        point.         The         graphs         are         on         top         of         each         other,         and         they         intersect         at         every         point.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/04 Systems of Equations/401SystemsOfEquations.tex\",\"type\":\"encyclopedia\",\"language\":\"en\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy80MDFzeXN0ZW1zb2ZlcXVhdGlvbnMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"h1\":\"What Are Systems of Equations?\",\"locale\":\"en\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations\",\"h1\":\"Systems of Equations\",\"_key\":\"41927a7e-eb51-55a1-908a-da0aea694d01\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/what-are-systems-of-equations\",\"h1\":\"What Are Systems of Equations?\",\"_key\":\"f3c43b27-b547-5717-ae71-701b673416ed\"}],\"image\":{\"value\":0.75,\"url\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL21hdHRlZGFtYV9saWtuaW5nMy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwiZWRpdHMiOnsicmVzaXplIjp7IndpZHRoIjoxMjAwLCJoZWlnaHQiOjYzMH0sInRvRm9ybWF0IjoicG5nIn19\",\"alt\":\"A blackboard with the equations 2x+y=5 and 1-y=5.\",\"_key\":\"8f26bd88-37e9-5df6-9247-378400d2fefd\",\"type\":\"textwidth\",\"dimension\":\"width\"},\"siblings\":[{\"h1\":\"What Are Systems of Equations?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/what-are-systems-of-equations\"},{\"h1\":\"Graphic Representation of Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\"},{\"h1\":\"How to Graphically Solve Systems of Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-graphically-solve-systems-of-equations\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with the Substitution Method\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-substitution-method\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with the Elimination Method\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-elimination-method\"},{\"h1\":\"How to Solve Systems of Nonlinear Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-solve-systems-of-nonlinear-equations\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with Multiple Unknowns\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-multiple-unknowns\"}],\"sharedLanguageKey\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/what-are-systems-of-equations\",\"taskReference\":null,\"isRootPath\":false,\"title\":\"What Are Systems of Equations?\",\"metaDescription\":\"Systems of equations are a collection of equations with more than one variable. 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\u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/4/3/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Systems of Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you solve a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/what-are-systems-of-equations\\\"\u003esystem of equations\u003c/a\u003e graphically, you find an image of the solution by drawing the equations in a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-is-a-coordinate-system\\\"\u003ecoordinate system\u003c/a\u003e and figuring out where they intersect. It can be useful to imagine systems of equations as graphs coming together. Then you always have a clear idea of what is going on. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The equations will then be straight lines in the form \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-522000\\\"\u003e\u003c/a\u003eWhen the System of Equations Has No Solution\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When  the  graphs  have  the  same  slope                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, they are parallel. As long as the constant term \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e in the two functions is different, these lines will \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003enever \u003c/span\u003eintersect. In short: \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eNo intersection =\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eno solution\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/parallellelinjer.svg\\\" alt=\\\"Two parallel lines in a coordinate system.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e      \u003ch3 class=\\\"likesectionHead\\\"\u003e\u003ca   id=\\\"x1-523000\\\"\u003e\u003c/a\u003eWhen the System of Equations Has One Solution\u003c/h3\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen the lines have different slopes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, they will intersect at one point. This point is called the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/vectors/three-dimensions/intersections\\\"\u003eintersection\u003c/a\u003e. In short: \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eOne\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eintersection = one solution\u003c/span\u003e. The intersection is made up of a value from the first axis (often \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e) and one value from from the second axis (often \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e), so you can find the solution by reading off the coordinates where the two lines intersect. When you solve systems of equations through algebra, these are the exact coordinates you will find. \u003c/p\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/krysselinjereng.svg\\\" alt=\\\"Two straight lines intersecting in a coordinate system.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003ch2 class=\\\"section-title\\\"\u003e \u003ca   id=\\\"x1-524000\\\"\u003e\u003c/a\u003eWhen the System of Equations Has an Infinite Number of Solutions\u003c/h2\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When the two graphs have the same slope \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, they’re parallel. When                                                                                                                                                                                                                                          the constant term \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is also the same in both functions, these lines will be identical, and on top of each other. They intersect at all points on the graph, which is an infinite number of points. In other words, \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ean infinite number of intersections = an infinite number of\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esolutions\u003c/span\u003e. The solution is therefore all the points on the line, and we write it as \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eS\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eℝ\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cpicture\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3BhbGluamVyLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJlZGl0cyI6eyJyZXNpemUiOnsid2lkdGgiOjQ1MCwidG9Gb3JtYXQiOiJ3ZWJwIn19fQ==\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3BhbGluamVyLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJlZGl0cyI6eyJyZXNpemUiOnsid2lkdGgiOjI0MCwidG9Gb3JtYXQiOiJ3ZWJwIn19fQ==\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(min-width: 600px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3BhbGluamVyLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJlZGl0cyI6eyJyZXNpemUiOnsid2lkdGgiOjQ1MCwidG9Gb3JtYXQiOiJwbmcifX19\\\"\u003e\\n      \u003csource media=\\\"(max-width: 599px)\\\" srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3BhbGluamVyLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJlZGl0cyI6eyJyZXNpemUiOnsid2lkdGgiOjI0MCwidG9Gb3JtYXQiOiJwbmcifX19\\\"\u003e\\n      \u003cimg srcset=\\\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvaW1hZ2VzL3BhbGluamVyLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJlZGl0cyI6eyJyZXNpemUiOnsid2lkdGgiOjQ1MCwidG9Gb3JtYXQiOiJwbmcifX19\\\" alt=\\\"Two lines on top of each other in a coordinate system.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\\n      \u003c/picture\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It’s important to notice that the answer is made up of both the                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e value and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e value together. For that reason, it’s smart to think about the solution as the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ecoordinates \u003c/span\u003eat the intersection of the two graphs. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"taskReference\":null},\"level\":\"42\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve a system of equations by drawing the equations in a coordinate system and marking where they intersect by studying this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null},{\"encyclopediaArticle\":{\"h1\":\"How to Graphically Solve Systems of Equations\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1365\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about solving systems of equations graphically? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/4/2/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Systems of Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here you will learn how to use \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003egraphic solving\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e to solve \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/what-are-systems-of-equations\\\"\u003esystems of equations\u003c/a\u003e through a set of instructions that will always get you to the finish line! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1366\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSystem\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eGraphically\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eSolve both equations for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e.         That means you need \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       on its own on the left side in both expressions. It should look like this: \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e       \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Your         expressions         are         now         linear         functions.         Draw         them         in         the         same         coordinate         system.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Find         where         the         two         graphs         intersect,         taking         note         of         one         number         from         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       axis         and         one         from         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       axis—the         x-         and         y-         \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ecoordinates.\u003c/span\u003e        \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                       \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1367\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the system of equations:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmstyle     id=\\\"x1-524007r1\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmstyle  class=\\\"maketag\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e(1)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e                                                 \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmstyle     id=\\\"x1-524008r2\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmstyle  class=\\\"maketag\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e(2)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eFirst solve (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e1\u003c/a\u003e) with respect to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e:         \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThen you solve (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e2\u003c/a\u003e) with respect to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e:         \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                    \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  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\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"1em\\\" class=\\\"quad\\\"/\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e|\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/2likn2ukjente.svg\\\" alt=\\\"Two lines meeting at (1,4)\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eFind the intersection at \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         and write the answer like this: \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                            \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eAnswer:\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Recall that there are three different kinds of solutions. There are solutions where the graphs do not intersect, solutions where the graphs intersect at one point, and solutions where the graphs are on top of each other and intersect at every point. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     If you’re ever unsure of the solution you find through algebra, you can always get some perspective by drawing the graphs of the equations. I always feel like it helps to have an image of how everything connects together. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     With training you will find that you can sketch these in your mind, which is very useful! \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"isRootPath\":false,\"taskReference\":null,\"metaDescription\":\"Learn how to solve a system of equations graphically. The instructions presented here will always get you to the finish line, no matter what!\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy80MDNtb3JlZ3JhcGhpY3NvbHZpbmdzeXNvZmVxcy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwidmVyc2lvbiI6M30=\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations\",\"h1\":\"Systems of Equations\",\"_key\":\"41927a7e-eb51-55a1-908a-da0aea694d01\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-graphically-solve-systems-of-equations\",\"h1\":\"How to Graphically Solve Systems of Equations\",\"_key\":\"72a974e7-9f1f-523b-a5bc-f92de0478676\"}],\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/04 Systems of Equations/403MoreGraphicSolvingSysOfEqs.tex\",\"sharedLanguageKey\":null,\"siblings\":[{\"h1\":\"What Are Systems of Equations?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/what-are-systems-of-equations\"},{\"h1\":\"Graphic Representation of Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\"},{\"h1\":\"How to Graphically Solve Systems of Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-graphically-solve-systems-of-equations\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with the Substitution Method\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-substitution-method\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with the Elimination Method\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-elimination-method\"},{\"h1\":\"How to Solve Systems of Nonlinear Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-solve-systems-of-nonlinear-equations\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with Multiple Unknowns\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-multiple-unknowns\"}],\"locale\":\"en\",\"language\":\"en\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"image\":{\"_key\":\"07340298-44eb-53d8-ab1b-adfdf07a7d98\",\"type\":\"textwidth\",\"dimension\":\"width\",\"value\":0.75,\"url\":\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/2likn2ukjente.svg\",\"alt\":\"Two lines meeting at (1,4)\"},\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-graphically-solve-systems-of-equations\",\"title\":\"How to Graphically Solve Systems of Equations\",\"type\":\"encyclopedia\"},\"level\":\"43\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve a system of equations graphically. 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It will always work—it is actually quite mechanical. The answer will always appear, as long as you follow the recipe. It’s an advantage to set up the equations in separate columns when you use the substitution method. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1369\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRecipe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSubstitution\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMethod\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         the         equations         next         to         each         other         in         two         columns.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Choose         one         of         the         equations         and         solve         for         one         of         the         variables.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Substitute         the         expression         for         that         variable         into         the         equation         you         haven’t         used         yet.         Solve         that         equation.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Put         the         answer         back         into         the         first         equation         and         solve         for         the         remaining         variable.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         the         answer         in         coordinate         form:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eANSWER: \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  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\u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/mattedama_likning2eng.svg\\\" alt=\\\"A system of equations concerning the amount of goals Ronaldo and Messi scored in a season.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1370\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve this system of equations with the substitution method: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align\\\"\u003e                                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmstyle     id=\\\"x1-524020r1\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmstyle  class=\\\"maketag\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e(1)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" 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mathvariant=\\\"normal\\\" \u003e(\u003c/mtext\u003e\u003cmtext   xlink:type=\\\"simple\\\" xmlns:xlink=\\\"http://www.w3.org/1999/xlink\\\" xlink:href=\\\"#\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e2\u003c/mtext\u003e\u003cmtext  class=\\\"endlabel\\\"\u003e)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"1em\\\" class=\\\"quad\\\"/\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e \u003cdiv class=\\\"wide\\\"\u003e  \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                        \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext class=\\\"textup\\\" mathvariant=\\\"normal\\\" \u003e(\u003c/mtext\u003e\u003cmtext   xlink:type=\\\"simple\\\" xmlns:xlink=\\\"http://www.w3.org/1999/xlink\\\" xlink:href=\\\"#\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e1\u003c/mtext\u003e\u003cmtext  class=\\\"endlabel\\\"\u003e)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"1em\\\" class=\\\"quad\\\"/\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e 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\u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eChoose the equation you think looks easier and solve for one of the variables:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext class=\\\"textup\\\" mathvariant=\\\"normal\\\" \u003e(\u003c/mtext\u003e\u003cmtext   xlink:type=\\\"simple\\\" xmlns:xlink=\\\"http://www.w3.org/1999/xlink\\\" xlink:href=\\\"#\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e1\u003c/mtext\u003e\u003cmtext  class=\\\"endlabel\\\"\u003e)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"1em\\\" class=\\\"quad\\\"/\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  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 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmstyle 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\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003ePut this value back into the first expression you found:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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coordinate form: \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e 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\u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe unknowns in this system is the price of an adult ticket and the price of a child ticket. Let’s call the adult ticket \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and the child ticket \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe equation describing the situation of Mom, Aunt Beth, and the three kids looks like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmstyle     id=\\\"x1-524028r3\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003ctd class=\\\"eq-no\\\"\u003e(3)\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe equation for David Beckham and his companions looks like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmstyle     id=\\\"x1-524029r4\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003ctd class=\\\"eq-no\\\"\u003e(4)\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou choose to start with \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eEquation (4)\u003c/a\u003e, because that equation has a variable that stands on its own, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                              \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eApply this expression to \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eEquation (3)\u003c/a\u003e and solve for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace 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                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                         \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e 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Adult tickets cost £\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and child tickets cost £\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"isRootPath\":false},\"level\":\"44\"},{\"level\":\"45\",\"metaDescription\":\"Discover the elimination method for solving systems of equations. 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Learn how you can solve a system of equations by adding one equation to the other.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foobootcamp\\\" id=\\\"tcolobox-1372\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Video Crash Courses\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWant to watch animated videos and solve interactive exercises about solving systems of equations using the elimination method? \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ca href=\\\"/bootcamp/algebra/equations/4/5/how\\\"\u003eClick here to try the Video Crash Course called “Systems of Equations”!\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eelimination method \u003c/span\u003edemands a bit more understanding than the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-substitution-method\\\"\u003esubstitution method\u003c/a\u003e. The disadvantage is that it can become difficult if you don’t have “nice” numbers to work with. The number of columns you use during the calculations can be used as a convenient way for you to separate the two methods. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1373\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRecipe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eElimination\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMethod\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Choose         which         of         the         variables         you         want         to         get         rid         of.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         each         of         the         equations         (1)         and         (2)         together         with         the         numbers         that         give         the         variable         you         chose         the         same         constant         in         both         equations,         but         with         opposite         signs.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         the         new         forms         of         the         equations         below         the         original         ones.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Add         equation         (2)         to         equation         (1)         and         write         the         result         below         those         equations.         You         now         have         one         equation         with         one         variable.         Solve         it.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Put         the         answer         you         found         back         into         equation         (1)         and         solve         for         the         last         variable.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Write         the         answers         on         coordinate         form:\u003cbr /\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eANSWER: \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1374\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve the system of equations. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align\\\"\u003e                                                   \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmstyle     id=\\\"x1-524039r1\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmstyle  class=\\\"maketag\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e(1)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e                                                   \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmstyle     id=\\\"x1-524040r2\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmstyle  class=\\\"maketag\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e(2)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         We         decide         to         get         rid         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eBecause you have \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e in         (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e2\u003c/a\u003e) and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e in (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e1\u003c/a\u003e), you         have to multiply (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e1\u003c/a\u003e) by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         to get rid of the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       value when you add the two equations together. In this case, you don’t need to multiply         (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e2\u003c/a\u003e) by any factors.         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo class=\\\"MathClass-close\\\" fence=\\\"true\\\" mathsize=\\\"1.19em\\\" \u003e|\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmstyle  class=\\\"maketag\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e(\u003c/mtext\u003e\u003cmtext   xlink:type=\\\"simple\\\" xmlns:xlink=\\\"http://www.w3.org/1999/xlink\\\" xlink:href=\\\"#\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e1\u003c/mtext\u003e\u003cmtext  class=\\\"endlabel\\\"\u003e)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e\u003cmstyle     id=\\\"x1-524045r2\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmstyle  class=\\\"maketag\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e(\u003c/mtext\u003e\u003cmtext   xlink:type=\\\"simple\\\" xmlns:xlink=\\\"http://www.w3.org/1999/xlink\\\" xlink:href=\\\"#\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e2\u003c/mtext\u003e\u003cmtext  class=\\\"endlabel\\\"\u003e)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e\u003cmstyle     id=\\\"x1-524046r2\\\"  class=\\\"label\\\" \u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eWrite the two equations again after making the changes.         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                             \u003cmspace 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class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eNow, add the two equations together to get rid of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, and solve         for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                   \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  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class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle mathcolor=\\\"#E60000\\\"\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eInsert this answer into one of the equations. You can choose whichever one you like. I         chose equation (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e1\u003c/a\u003e):         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  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\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                 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equations\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-substitution-method\\\"\u003eThe substitution method\u003c/a\u003e is the one we’ll use here. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Remember that in these cases, we can get more than one solution. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1375\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSystems\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003enonlinear\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eequations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         You’ll         find         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       or         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       by         using         the         simplest         equation.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Put         one         expression         into         the         other         expression.         Here         you         can         get         up         to         two         solutions.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         These         two         equations         have         to         be         put         back         into         the         first         equation         you         used         one-by-one.         First,         you         put         in         one         of         the         solutions         and         solve         for         the         corresponding         variable.         Then,         you         put         in         the         other         solution         and         solve         for         this         solution’s         corresponding         variable.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         You         can         have         more         than         one         solution:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e         and         so         on.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1376\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the system of equations\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align\\\"\u003e                                     \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle 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\u003e(1)\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"0.33em\\\" class=\\\"nbsp\\\" /\u003e                                              \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  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\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value and         one \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         together! In this particular case, there are two answers. \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"locale\":\"en\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations\",\"h1\":\"Systems of Equations\",\"_key\":\"41927a7e-eb51-55a1-908a-da0aea694d01\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-solve-systems-of-nonlinear-equations\",\"h1\":\"How to Solve Systems of Nonlinear Equations\",\"_key\":\"b3939dd3-85b1-5e75-984d-8393f558cc5f\"}],\"siblings\":[{\"h1\":\"What Are Systems of Equations?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/what-are-systems-of-equations\"},{\"h1\":\"Graphic Representation of Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\"},{\"h1\":\"How to Graphically Solve Systems of Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-graphically-solve-systems-of-equations\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with the Substitution Method\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-substitution-method\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with the Elimination Method\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-the-elimination-method\"},{\"h1\":\"How to Solve Systems of Nonlinear Equations\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/how-to-solve-systems-of-nonlinear-equations\"},{\"h1\":\"Solve Systems of Equations with Multiple Unknowns\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/solve-systems-of-equations-with-multiple-unknowns\"}],\"isRootPath\":false,\"h1\":\"How to Solve Systems of Nonlinear Equations\",\"language\":\"en\",\"metaDescription\":\"Systems of nonlinear equations are solved with the same approach as linear equations. Learn  to solve systems of nonlinear equations in this entry.\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy80MDZzeXN0ZW1ub25saW5lYXJlcXMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\"},\"level\":\"46\",\"metaDescription\":\"Systems of nonlinear equations are solved with the same approach as linear equations. Learn  to solve systems of nonlinear equations in this entry.\",\"metaDescriptionActivity\":null},{\"metaDescription\":\"Learn how to solve systems of three equations with three variables by using the insertion method. 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The only difference is that it has one more step. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     I recommend that you split your page into three columns, with one equation in each column. Read the instructions below carefully! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1377\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eHow\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eto\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003esolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eequations\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ewith\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethree\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003evariables\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Select         one         of         the         equations         and         solve         it         for         one         of         the         variables.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Take         the         first         equation         and         input         it         into         the         other         two         equations.         Arrange         them         nicely         in         your         columns.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Now         you         have         two         equations         with         two         variables.         You         can         solve         them         both         with         the         substitution         method.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Using         the         two         answers         you         now         have,         you         input         them         into         the         equation         you         started         with         to         find         the         final         variable.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1378\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the set of equations:\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align\\\"\u003e                                   \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  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Substitute (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e5\u003c/a\u003e) into         (\u003ca  href=\\\"#\\\"\u003e6\u003c/a\u003e):         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                      \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ez\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace 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\u003ez\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ez\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  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Use the examples in this entry and learn how to solve rational equations.\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy81MDFlcXVhdGlvbnNmcmFjdGlvbnMucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"type\":\"encyclopedia\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/rational-equations\",\"h1\":\"Rational Equations\",\"_key\":\"629367a9-3a17-5129-bba5-7aa189f0ccf5\"},{\"_key\":\"4ff82809-c513-581c-a4ed-24580cac8654\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/rational-equations/how-to-solve-equations-with-fractions\",\"h1\":\"How to Solve Equations with Fractions\"}],\"sharedLanguageKey\":null,\"title\":\"How to Solve Equations with Fractions\",\"locale\":\"en\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You will now expand your knowledge of \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequations\u003c/a\u003e further by learning to solve equations with fractions. These kinds of equations are also called \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003erational equations\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The only new thing is that you have to find the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-add-and-subtract-fractions-with-x-in-the-denominator\\\"\u003ecommon denominator\u003c/a\u003e, multiply all terms \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eby \u003c/span\u003ethat common denominator, and then \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-divide-fractions-by-canceling\\\"\u003esimplify\u003c/a\u003e. The whole purpose of this method is to \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eget\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003erid of \u003c/span\u003ethe fractions! \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1379\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Find         the         common         denominator.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         all         the         terms         by         the         common         denominator         and         simplify.         You’ll         notice         below         that         I’ve         put         parentheses         around         the         numerators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Think         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/calculation-order/order-of-operations-pemdas\\\"\u003ePEMDAS\u003c/a\u003e!         Expand         the         parentheses         first.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         all         the         terms         that         only         consist         of         numbers         to         one         side         of         the         equation.         Remember         to         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-equations-change-sides-change-sign\\\"\u003echange         the         sign         when         you         change         sides\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         all         the         terms         with         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         them         to         the         other         side.         Remember         to         change         the         sign         when         you         change         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Combine         and         simplify         the         terms         on         both         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     7.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         or         divide         on         both         sides         by         the         number         that         is         preventing         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       from         standing         alone.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1380\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTo be able to master equations, you should be comfortable with \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003efraction calculations\u003c/a\u003e and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/introduction-to-algebra/why-you-need-algebra\\\"\u003ealgebra\u003c/a\u003e. If you experience a gap in your knowledge, you can go back and study these entries. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1381\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the equation\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                   \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e    \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e    \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewith respect to \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou multiply the equation by the common denominator, which is 2: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   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mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou multiply the equation by the common denominator, which is 10:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  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\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                  \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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class=\\\"indent\\\" \u003e     Now you’ll learn to get rid of fractions where the variable is in the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003edenominator. \u003c/span\u003eThe good news is that the steps are identical, except for the last one! The last step is to check for extraneous solutions, which are solutions that appeared throughout the process that are not valid. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     To find the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-add-and-subtract-fractions-with-x-in-the-denominator\\\"\u003ecommon denominator\u003c/a\u003e, you multiply all the denominators in the equation by each other. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Once you’ve figured all of this out, you’ll be a master of rational equations! \u003c/p\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1383\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Find         the         common         denominator.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         all         the         terms         by         the         common         denominator         and         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-simplify-fractions-with-variables\\\"\u003ecross-cancel\u003c/a\u003e.         You’ll         notice         below         that         I         put         parentheses         around         the         numerators.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Think         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/calculation-order/order-of-operations-pemdas\\\"\u003ePEMDAS\u003c/a\u003e!         First,         solve         the         parentheses.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         all         the         terms         that         only         consists         of         numbers         to         one         side         of         the         equation.         Remember         to         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/how-to-solve-equations-change-sides-change-sign\\\"\u003echange         the         sign         when         you         change         sides\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Move         all         the         terms         with         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         them         to         the         side         of         the         equation         that         has         no         terms         that         only         consists         of         numbers.         Remember         to         change         the         sign         when         you         change         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Combine         and         simplify         the         terms         on         both         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     7.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Multiply         or         divide         on         both         sides         by         the         number         preventing         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       from         standing         alone.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1384\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eI strongly recommend that you do many exercises on this. Once you’ve got the method in place in your mind, it’ll be hard to forget. In addition, if you can master this, you’ll have also mastered algebra and arithmetic with fractions. Yay for that! \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1385\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the equation with respect to \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                           \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e    \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e   \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e    \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou multiply all the terms by the common denominator, which is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle mathcolor=\\\"#0056EB\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e Then you move all terms with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e to one side, and all terms with numbers only to the other side: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                              \u003cmsup\u003e\u003cmrow  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 \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSimplify the terms: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                   \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e 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               \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1386\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the equation\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e   \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e    \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e  \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e 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                    \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou multiply by the common denominator,\u003cbr /\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" 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class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                              \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou see that the only factors in the denominators are \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Therefore \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                        \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\" type=\\\"implication\\\"\u003e⇒\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e and \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eare the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-values where the expression is not defined. You find the common denominator by multiplying the different factors together. Hence the common denominator is \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                     \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can now solve the equation:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e   \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e     \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"1em\\\" class=\\\"quad\\\"/\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e   \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e     \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmspace width=\\\"1em\\\" class=\\\"quad\\\"/\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo class=\\\"MathClass-close\\\" fence=\\\"true\\\" mathsize=\\\"2.03em\\\" \u003e|\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo 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class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e  Here you use the quadratic formula to factorize the left-hand side: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThat yields the solutions \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                             \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e and \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSince \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is one of the values where the expression is not defined, the answer is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/05 Rational Equations/502EqFractionsXDenominator.tex\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/rational-equations/solve-rational-equations-with-x-in-the-denominator\",\"title\":\"Solve Rational Equations with x in the Denominator\",\"siblings\":[{\"h1\":\"How to Solve Equations with Fractions\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/rational-equations/how-to-solve-equations-with-fractions\"},{\"h1\":\"Solve Rational Equations with x in the Denominator\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/rational-equations/solve-rational-equations-with-x-in-the-denominator\"}],\"isRootPath\":false},\"level\":\"49\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve rational equations where there is a variable in the denominator by studying the examples we have provided in this section.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"Solve Rational Equations with x in the Denominator\",\"howContent\":null},{\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"What Are Radical 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With this type of equation, we might end up with extraneous solutions, therefore \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-check-solutions-to-an-equation\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003etesting answers to the equation\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e is a part of the solution process. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here is how you do it: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1388\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRadical\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eequations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Isolate         the         square         root         on         one         side.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Square         both         sides.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Calculate         and         solve         the         equation         normally.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Test         the         answer         to         the         equation.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTesting the answer to the equation is a part of the solving method for these equations. It often happens that you get extraneous solutions. It’s in “Testing the answer” where you detect and remove these extraneous solutions. \u003c/p\u003e                                                                       \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1389\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  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We’ll use the quadratic formula: \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" 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\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e      \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≈\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/div\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e          \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e          \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNow you have to test the answer by inserting \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                            \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e       \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e      \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≈\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e(If you get a small deviation on the decimals when you test the solutions, it is due to the rounding): \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                     \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eLeft side\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  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\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e                                      \u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSince Left side \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e Right side, then \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e      \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e      \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≈\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is a solution. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe solution to the equation is then \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e       \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e      \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≈\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e Testing the answer is a part of the solving method, because squaring can sometimes lead to extraneous solutions. \u003c/p\u003e                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"image\":null,\"isRootPath\":false,\"sharedLanguageKey\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/radical-equations/what-are-radical-equations\",\"title\":\"What Are Radical Equations?\",\"type\":\"encyclopedia\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"_key\":\"834b7905-6ecc-59d1-943f-e86732ce0661\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/radical-equations\",\"h1\":\"Radical 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are equations where the variable is raised to a power. Learn the the technique to solve power equations by studying this entry.\",\"siblings\":[{\"h1\":\"What Are Power Equations?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/equations-with-powers/what-are-power-equations\"}],\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy83MDFwb3dlcmVxdWF0aW9ucy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwidmVyc2lvbiI6M30=\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"taskReference\":null,\"image\":null,\"title\":\"What Are Power Equations?\",\"type\":\"encyclopedia\",\"language\":\"en\",\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/07 Equations with Powers/701PowerEquations.tex\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/equations-with-powers/what-are-power-equations\",\"isRootPath\":false,\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Power equations are equations where the variable is raised to a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/arithmetic/powers-and-roots/what-are-powers-in-math\\\"\u003epower\u003c/a\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, for example \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e. You solve power equations by tidying the expression as in the previous posts so that the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/types-of-functions/what-are-exponential-functions\\\"\u003eexponential expression\u003c/a\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, is on its own and not multiplied or divided by anything. At that point you take the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003eth root on both sides, where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is the same as the exponent of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     It is important to remember that if \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is an odd number (\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e,                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e), there will be \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eeither \u003c/span\u003ea negative \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eor \u003c/span\u003ea positive answer. If \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is an even number (\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e), there is \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eboth a positive and a negative solution\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You will have a negative and a positive answer as when you multiply a negative number with itself an even number of times the answer is positive. If you multiply a negative number with itself an odd number of times the answer is negative. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1391\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003epower\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eequations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eEven number exponential: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eeven number\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003enumber\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                        \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003enumber\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eeven \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eOdd number exponential: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eodd number\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003enumber\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                          \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmroot\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003enumber\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eodd number\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mroot\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1392\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv 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After you solve the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequation\u003c/a\u003e, you can check if the answer is correct by inserting the solution into both sides. You then check if the value of the expression on the left hand side (LHS) is equal to the value of the expression on the right hand side (RHS). \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1398\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eTesting\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003esolution\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eto\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ean\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca   id=\\\"x1-5241161\\\"\u003e\u003c/a\u003e         Write         the         left         side         of         the         equation.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         When         you         solved         the         equation         you         found         a         value         for         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e.         Insert         the         value         in         for         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         the         expression         from         \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eItem 1\u003c/a\u003e.         Then         calculate.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca   id=\\\"x1-5241183\\\"\u003e\u003c/a\u003e         Write         the         right         side         of         the         equation.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         When         you         solved         the         equation         you         found         a         value         for         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e.         Insert         the         value         in         for         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         the         expression         from         \u003ca  href=\\\"#\\\"\u003eItem 3\u003c/a\u003e.         Then         calculate.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         one         of         the         sides         doesn’t         have         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e,         that’s         okay.         Just         calculate         that         side         like         normal.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         you         find         that         your         calculations         of         the         left         side         and         the         right         side         are         equal,         you         have         found         the         correct         solution!         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foothink\\\" id=\\\"tcolobox-1399\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Think About This\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIt’s very important that you really know what the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eequal\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esign\u003c/span\u003e means. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe equal sign \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003edemands\u003c/span\u003e that what is on each side is equal to another. You can read it from left to right, but also from right to left. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1400\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eTest the solution to the equation\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                         \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou solved \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and got \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eThe left side\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003cmi  \u003es\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eThe right side\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou check if \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is a solution to the equation \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"tabular\\\"\u003e \u003ctable id=\\\"TBL-54\\\" class=\\\"tabular\\\"  rules=\\\"groups\\\"  \u003e\u003ccolgroup id=\\\"TBL-54-1g\\\"\u003e\u003ccol  id=\\\"TBL-54-1\\\" /\u003e\u003c/colgroup\u003e\u003ccolgroup id=\\\"TBL-54-2g\\\"\u003e\u003ccol  id=\\\"TBL-54-2\\\" /\u003e\u003c/colgroup\u003e\u003ctr class=\\\"hline\\\" style=\\\"border-top:1px solid #000\\\"\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003ctr    style=\\\"vertical-align:baseline;\\\" id=\\\"TBL-54-1-\\\"\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; white-space:nowrap;\\\" id=\\\"TBL-54-1-1\\\"   class=\\\"td11\\\"\u003e \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eLHS\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e                                                                                       \u003c/td\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; white-space:nowrap;\\\" id=\\\"TBL-54-1-2\\\"   class=\\\"td11\\\"\u003e \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eRHS\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e                                                                                        \u003c/td\u003e \u003c/tr\u003e\u003ctr class=\\\"hline\\\" style=\\\"border-top:1px solid #000\\\"\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003ctr    style=\\\"vertical-align:baseline;\\\" id=\\\"TBL-54-2-\\\"\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; white-space:nowrap;\\\" id=\\\"TBL-54-2-1\\\"   class=\\\"td11\\\"\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e \u003c/td\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; 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white-space:nowrap;\\\" id=\\\"TBL-54-3-2\\\"   class=\\\"td11\\\"\u003e\u003c/td\u003e \u003c/tr\u003e\u003ctr class=\\\"hline\\\" style=\\\"border-top:1px solid #000\\\"\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003ctr    style=\\\"vertical-align:baseline;\\\" id=\\\"TBL-54-4-\\\"\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; white-space:nowrap;\\\" id=\\\"TBL-54-4-1\\\"   class=\\\"td11\\\"\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmstyle mathcolor=\\\"#E60000\\\"\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/td\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; white-space:nowrap;\\\" id=\\\"TBL-54-4-2\\\"   class=\\\"td11\\\"\u003e                                                                     \u003c/td\u003e \u003c/tr\u003e\u003ctr class=\\\"hline\\\" style=\\\"border-top:1px solid #000\\\"\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003ctr    style=\\\"vertical-align:baseline;\\\" id=\\\"TBL-54-5-\\\"\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; 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The \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eLHS\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eRHS\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Check if \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is a solution to the equation \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"tabular\\\"\u003e \u003ctable id=\\\"TBL-55\\\" class=\\\"tabular\\\"  rules=\\\"groups\\\"  \u003e\u003ccolgroup id=\\\"TBL-55-1g\\\"\u003e\u003ccol  id=\\\"TBL-55-1\\\" /\u003e\u003c/colgroup\u003e\u003ccolgroup id=\\\"TBL-55-2g\\\"\u003e\u003ccol  id=\\\"TBL-55-2\\\" /\u003e\u003c/colgroup\u003e\u003ctr class=\\\"hline\\\" style=\\\"border-top:1px solid #000\\\"\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003ctd\u003e\u003chr /\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003ctr    style=\\\"vertical-align:baseline;\\\" id=\\\"TBL-55-1-\\\"\u003e\u003ctd  style=\\\"text-align:left; 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We know that when LHS \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e RHS, the solution is correct! \u003c/p\u003e                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"title\":\"How to Check Solutions to an Equation\"},\"level\":\"52\"},{\"level\":\"53\",\"metaDescription\":\"Discover how to turn word problems into equations. Learn this critical skill for solving mathematics problems. 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Reading about \u003ca href=\\\"/study-tips/problem-solving\\\"\u003eproblem solving techniques\u003c/a\u003e will also be helpful. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1402\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eAlbert\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eEinstein\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003e101\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyears\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eolder\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethan\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSheldon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eCooper.\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eStephen\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eHawking\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003e38\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyears\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eolder\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethan\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSheldon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eCooper.\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eAdded\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003etogether,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethree\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eare\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003e250\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eyears\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eold.\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eHow\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eold\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eare\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eAlbert\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eEinstein,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSheldon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eCooper\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eStephen\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eHawking?\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFirst, write down the sentences you can turn into equations. Then, translate them into equations: \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eEinstein is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e years older than Cooper. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eEinstein is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e plus Cooper:\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmi  \u003eE\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eHawking is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e years older than Cooper. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eHawking is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e plus Cooper:\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmi  \u003eH\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eAdded together, they’re \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e years old. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eEinstein plus Cooper plus Hawking is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e years:\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                              \u003cmi  \u003eE\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eH\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTo solve this, you can just insert the expressions for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eE\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e into the third equation:  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                               \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003eE\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eH\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                               \u003cmspace 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    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eC\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e  \u003c/mtd\u003e                                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e    \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e  \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  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class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ein\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003etotal.\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eWhat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eprice\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eone\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eadult\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eticket,\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewhat\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eprice\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eone\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003echildren’s\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eticket?\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe first thing you have to do with word problems is to write each sentence as an equation. Look at this:         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"description\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eItem 1:\u003c/span\u003e  \u003c/p\u003e\u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFour adult tickets and two children’s tickets cost         $\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. If you know the price of         an adult ticket \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and the price         of a children’s ticket for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e,         you can translate this to: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eItem 2:\u003c/span\u003e  \u003c/p\u003e\u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"description\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eOne adult ticket and four children’s tickets cost         $\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.         You can translate this into: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThen you have two equations with two variables. That means you can solve them by either using the substitution method, or the elimination method. Here, I’ve used the substitution method, because that’s my favorite.  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                        \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                        \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                        \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e 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children’s ticket is $\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-formulate-an-equation-representing-a-problem\",\"language\":\"en\",\"metaDescription\":\"Discover how to turn word problems into equations. 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A good example is \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic equations\u003c/a\u003e without a constant. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1404\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eZero\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eProduct\u003c/span\u003e \u003cspan  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\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\" type=\\\"implication\\\"\u003e⇔\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e or \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1405\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003equadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFirst you move all the terms with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e over to the left side: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e2 and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e are common factors. Put them outside the brackets: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen multiple factors multiplied with each other equals zero, at least one of the factors have to be zero. You can’t multiply values that aren’t equal to zero and get zero as the product! \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eHere are the factors 2, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e. The number 2 can never be zero, so you can ignore it. You can now set the factors containing \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e equal to zero and solve the equation. The first factor that can be zero is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                       \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003esince \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                       \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eOne of the solutions is then \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe other factor you can set to zero is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e. You can write this as an equation to find what \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e has to be. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                    \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe other solution is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. You know this because \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                        \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe solutions to the equation \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e are then \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"image\":null,\"siblings\":[{\"h1\":\"How to Check Solutions to an Equation\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-check-solutions-to-an-equation\"},{\"h1\":\"How to Formulate an Equation Representing a Problem\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-formulate-an-equation-representing-a-problem\"},{\"h1\":\"What Is the Zero Product Property?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/what-is-the-zero-product-property\"},{\"h1\":\"How to Solve Equations Using Substitution\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-solve-equations-using-substitution\"},{\"h1\":\"How to Solve Equations by Graphing\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-solve-equations-by-graphing\"}],\"title\":\"What Is the Zero Product Property?\",\"locale\":\"en\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve equations through factorization. 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This process is called substitution and is useful for complex expression.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"breadcrumbs\":[{\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations\",\"h1\":\"Equations\",\"_key\":\"f99cf246-2b53-56b2-97b1-efb74d01f11e\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques\",\"h1\":\"Techniques\",\"_key\":\"9824c9a5-d352-5b42-97fc-2ab7ec10e1c9\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-solve-equations-using-substitution\",\"h1\":\"How to Solve Equations Using Substitution\",\"_key\":\"87c85036-406f-5c29-8525-8645c0ef9960\"}],\"image\":null,\"language\":\"en\",\"sharedLanguageKey\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/techniques/how-to-solve-equations-using-substitution\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy84MDRzb2x2aW5nZXF1YXRpb25zc3Vic3RpdHV0aW9uLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJ2ZXJzaW9uIjozfQ==\",\"taskReference\":null,\"isRootPath\":false,\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/01 Equations/08 Techniques/804SolvingEquationsSubstitution.tex\",\"type\":\"encyclopedia\",\"h1\":\"How to Solve Equations Using Substitution\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Sometimes expressions are especially complex, and a clever trick to solve them is to simplify them by using \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esubstitution. \u003c/span\u003eWhen you substitute, you exchange an expression with a variable. The variables often used are \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ev\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ew\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ez\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1406\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSubstitution\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSubstitution is when you substitute a variable for part of an expression: \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         You         substitute         a         variable,         such         as         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e,         for         a         complex         factor         in         the         expression,         then         calculate         with         the         variable         in         place.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Once         your         calculation         is         complete,         you         substitute         the         original         factor         back         into         the         result         for         the         variable         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e,         and         solve.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1407\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eequation\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis one looks a bit weird, but with a little help from \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/equations-with-powers/what-are-power-equations\\\"\u003ethe rules of calculating with powers\u003c/a\u003e it gets easier. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTransform the equation so you can use substitution: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                            \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can see that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e gives us an ordinary square equation: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                              \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can see that this is a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic equation\u003c/a\u003e which is solved either by using the quadratic formula, or by factorizing. You can therefore find the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003evalues: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" 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\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e and solve for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"alignat-star\\\"\u003e                                      \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                      \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  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\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eTo solve an equation like this, it helps to recognize that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e. You can substitute and solve it as a normal quadratic equation: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                             \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  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form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace 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\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can solve this equation either with the quadratic formula, or with inspection: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003c/mrow\u003e \u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e              \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e            \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                   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                                  \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                         \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/mrow\u003e      \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                          \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                         \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e     \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e   \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace 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class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e     \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e   \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003eu\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e     \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e   \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                            \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                             \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                              \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  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class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe answer you get is then \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsqrt\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msqrt\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"}},\"level\":\"55\",\"metaDescription\":\"Learn to simplify an expression by substituting parts of it with a variable. This process is called substitution and is useful for complex expression.\"},{\"metaDescription\":\"Another method for solving equations is by graphing. Learn what to look for and how to read off the solution when solving equations graphically.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Solve Equations by Graphing\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"h1\":\"How to Solve Equations by Graphing\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"taskReference\":null,\"sharedLanguageKey\":null,\"type\":\"encyclopedia\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Now you’ll learn to solve \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequations\u003c/a\u003e by \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\\\"\u003egraphing\u003c/a\u003e. I’ll explain what to look for and how to read off the solution. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You can think of an equation as two \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-is-the-definition-of-a-function\\\"\u003efunctions\u003c/a\u003e connected by an equal sign. That means you can draw the graph for the left expression and the right expression by putting “\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e” in front of each of them. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1409\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve the equation \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e by graphing. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Graph         the         left         side         of         the         expression         in         a         coordinate         system,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Graph         the         right         side         of         the         expression         in         a         coordinate         system,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Mark         the         point         where         the         graphs         intersect.         It         will         look         like         this:         \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/grafisklineng.svg\\\" alt=\\\"The lines y=2x+4 and y=0 in a coordinate system with their intersection marked as the solution.\\\" width=\\\"481\\\" height=\\\"481\\\"\u003e\u003ca   id=\\\"x1-524043r2\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003ca   id=\\\"x1-524044r2\\\"\u003e\u003c/a\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eRead off the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         of the intersection. From the figure you can see that the graphs intersect in         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1410\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eGraphic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolution\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ean\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquation\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Graph         the         left         side         of         the         equation         in         a         coordinate         system.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Graph         the         right         side         of         the         equation         in         the         same         coordinate         system.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Mark         the         points         where         the         graphs         intersect.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Read         off         the         value         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       at         the         intersection.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1411\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve the equation \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e by graphing. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Graph         the         left         side         of         the         expression         in         a         coordinate         system,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Graph         the         right         side         of         the         expression         in         the         coordinate         system,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eMark the points where the graphs intersect. Your coordinate system will now look like         this:         \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/grafiskandeng.svg\\\" alt=\\\"The parabola y=x^2 and the line y=4 with their intersections marked as solution 1 and 2.\\\" width=\\\"481\\\" height=\\\"481\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eRead off the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-values         at the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/vectors/three-dimensions/intersections\\\"\u003eintersections\u003c/a\u003e. You can see in the figure that the graphs intersect at         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. That means         the solution is \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"locale\":\"en\",\"language\":\"en\",\"metaDescription\":\"Another method for solving equations is by graphing. 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When you solve an inequality, you must find what \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e must be greater than, greater than or equal to, less than, or less than or equal to. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1412\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eInequality\u003c/span\u003e \u003cspan  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mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e means “less than or equal to” \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1413\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einequality\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                 \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e The answer tells you that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e must be less than 5 for the inequality to be true.                                                    \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     There is one important difference between solving linear inequalities and linear equations: When you multiply or divide by a negative number, you have to turn the inequality! Why? Take a look at the following example:                                                                                                                                                                                                                                          \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1414\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou might agree that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                     \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ebecause \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is further left on the real line than 5. If you multiply both sides with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, you get: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                            \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                            \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                            \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNow it says that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is greater than 10. That doesn’t make sense! 10 is further to the right on the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/numbers/sets-and-systems/what-is-the-real-number-line\\\"\u003enumber line\u003c/a\u003e than \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, and is therefore a greater number. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan id=\\\"textcolor15\\\"\u003eDue to this issue with the sign, the inequality sign must be turned for the expression to still be true. \u003c/span\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                             \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1415\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMultiply\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDivide\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eby\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNegative\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumbers\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eWhen you multiply or divide by a negative number, you have to TURN the inequality. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1416\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einequality\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                            \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                   \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" 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                                                                       \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1417\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 4\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einequality\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" 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\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                  \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≤\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e  \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/div\u003e  The answer tells you that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e must be less than or equal to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/math\u003e for the inequality to be true. \u003c/p\u003e                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"h1\":\"How to Solve a Linear Inequality\",\"isRootPath\":false}},{\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Solve Inequalities Graphically\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"image\":{\"url\":\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/grafiskulikhet2eng.svg\",\"alt\":\"The area between y=2x+4 and y=0 is marked to show where the inequality is true\",\"_key\":\"3870a112-d89b-54aa-ae74-22964e1cc62c\",\"type\":\"textwidth\",\"dimension\":\"width\",\"value\":0.75},\"sharedLanguageKey\":null,\"language\":\"en\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8yMDFzb2x2aW5naW5lcXVhbGl0aWVzZ3JhcGhpY2FsbHkucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"taskReference\":null,\"isRootPath\":false,\"locale\":\"en\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve inequalities graphically. Draw the graphs of both sides of the inequality in a coordinate system, so you may read off the solution.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/02 Equations and Inequalities/02 Inequalities/02 Intervals and Sign Charts/201SolvingInequalitiesGraphically.tex\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-to-solve-inequalities-graphically\",\"title\":\"How to Solve Inequalities Graphically\",\"h1\":\"How to Solve Inequalities Graphically\",\"type\":\"encyclopedia\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Here you’ll learn how to solve inequalities \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\\\"\u003egraphically\u003c/a\u003e. When you have an \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities\\\"\u003einequality\u003c/a\u003e, you can think of it as two \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-are-functions-in-math\\\"\u003efunctions\u003c/a\u003e linked together by an inequality sign. That is, you can draw the graph of the left-hand side of the inequality, and draw the graph of the right-hand side of the inequality, by putting “\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e” in front of the expressions. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1419\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einequality\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003egraphically\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         line         of         the         left-hand         side         of         the         inequality,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         in         a         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-is-a-coordinate-system\\\"\u003ecoordinate         system\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         line         of         the         right-hand         side         of         the         inequality,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         in         a         coordinate         system.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eMark the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/vectors/three-dimensions/intersections\\\"\u003epoint where the graphs intersect\u003c/a\u003e. The graphs look like this:         \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/grafiskulikhet2eng.svg\\\" alt=\\\"The area between y=2x+4 and y=0 is marked to show where the inequality is true\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eRead off the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         at the point of intersection. From the figure, you see that the graphs meet at         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. You also see that         the function \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is         over \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e to the right         of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. The answer         is therefore \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1420\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eGraphical\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolutions\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eInequalities\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         graph         of         the         left-hand         side         of         the         inequality         in         a         coordinate         system.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         graph         of         the         right-hand         side         of         the         inequality         in         the         same         coordinate         system.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Mark         where         the         graphs         intersect.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Read         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         of         the         points         where         the         graphs         intersect.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1421\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einequality\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003egraphically\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         graph         of         the         left-hand         side         of         the         inequality         in         a         coordinate         system,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         graph         of         the         right-hand         side         of         the         inequality         in         the         same         coordinate         system,         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eMark where the graphs intersect. The graphs look like this:         \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/grafiskulikhet22eng.svg\\\" alt=\\\"The area outside the parabola y=x^2 and above the line y=4 is marked\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eRead off the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-values         at the two points of intersection. From the figure you can see that the graphs intersect when         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/types-of-functions/what-are-quadratic-functions\\\"\u003eparabola\u003c/a\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e is         above the line \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         when \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is         less than \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         and when \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e         is greater than 2.         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe points of intersection must be included in the solution, because the         inequality has a “greater than or equal to” sign. The answer is thus         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≤\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"breadcrumbs\":[{\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\"},{\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities\",\"h1\":\"Inequalities\",\"_key\":\"d1f753fe-b961-5315-aead-7a4f77983d21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts\",\"h1\":\"Intervals and Sign Charts\",\"_key\":\"9756dd41-e4fb-5e77-81d1-23f442355495\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-to-solve-inequalities-graphically\",\"h1\":\"How to Solve Inequalities Graphically\",\"_key\":\"68ac612b-62d8-5e0e-9f86-f3aa399cfef9\"}],\"siblings\":[{\"h1\":\"How to Solve Inequalities Graphically\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-to-solve-inequalities-graphically\"},{\"h1\":\"How Do Sign Charts Work?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-do-sign-charts-work\"},{\"h1\":\"How to Find the Interval of an Inequality\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-to-find-the-interval-of-an-inequality\"}]},\"level\":\"58\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve inequalities graphically. 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                                                                                                                                                                       \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eWhat’s\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ea\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSign\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eChart?\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eA \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003esign\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003echart\u003c/span\u003e tells you when the value of a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/what-is-the-definition-of-a-function\\\"\u003efunction\u003c/a\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e is negative or positive, which is the same as when the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/systems-of-equations/graphic-representation-of-equations\\\"\u003egraph\u003c/a\u003e of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e is below or above the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis, respectively. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e Whatever kind of function you have, the sign charts tell you where \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ethe function you’re drawing sign charts for \u003c/span\u003eis above or below the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The main reason to love sign charts is that the sign chart of a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/derivation-and-its-applications/derivation/what-does-the-definition-of-the-derivative-mean\\\"\u003edifferentiated function\u003c/a\u003e tells you \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/derivation-and-its-applications/applications-of-the-derivative/what-are-stationary-points-of-a-function\\\"\u003ehow the original function behaves\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1423\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eHow\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eto\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDraw\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSign\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCharts\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThis rule applies for drawing any sign chart. \u003c/p\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cul class=\\\"itemize1\\\"\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou         draw         a         solid         line         when         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         of         the         function         is         greater         than         zero,         which         is         when         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/li\u003e         \u003cli class=\\\"itemize\\\"\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou         draw         a         dashed         line         when         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         of         the         function         is         less         than         zero,         which         is         when         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e         \u003c/li\u003e\u003c/ul\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooexample\\\" id=\\\"tcolobox-1424\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIn the figure below, you can see that the graph is below zero up to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and between \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. In these \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/numbers/sets-and-systems/interval-and-set-notation\\\"\u003eintervals\u003c/a\u003e the sign chart is dashed. The graph is above the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis between \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and when \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. In these areas the sign chart is solid. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/fortegnfor.svg\\\" alt=\\\"A graph that moves above and below the x-axis with its corresponding sign chart.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eNote!\u003c/span\u003e\u003c/b\u003e When you draw sign charts for constants, you just draw a solid line for positive numbers and a dashed line for negative numbers. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     But how do you know where the function is above or below the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis? Here are two ways to find out. Use Method 1 when you have a linear expression. In other cases you can use the one you like best. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1425\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eMethod\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003e1:\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eDeciding\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eWhether\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFunction\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ePositive\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNegative\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Solve         the         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/linear-equations/what-is-an-equation\\\"\u003eequation\u003c/a\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         to         find         the         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/vectors/three-dimensions/intersections\\\"\u003epoints         of         intersections\u003c/a\u003e         between         the         graph         and         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Look         at         one         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         on         each         side         of         these         intersections.         If         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         gives         you         a         negative         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value,         the         graph         is         below         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis         in         that         area.         If         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value         gives         you         a         positive         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ey\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-value,         the         graph         is         above         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis         in         that         area.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         sign         chart.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1426\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eDraw\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003esign\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003echart\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   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                                                                                                                                                              \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eSolve the equation \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e:         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   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width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eNow you check one value of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e         on each side of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         one that is greater than 6 and one that is smaller than 6. When you choose         these numbers, it’s smart to pick numbers that are easy to deal with, like         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                         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mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003eFactorize         the         expression\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         a         number         line         for         the         values         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       at         the         top         of         the         sign         charts.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         a         sign         chart         for         each         factor         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e,         where         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e          are         the         values         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       at         the         points         of         intersections         with         the         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         You         know         that         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   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display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e          on         the         number         line         on         top,         and         put         0         under         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e          in         the         sign         chart         for         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         To         find         out         where         the         function         is         positive         and         where         it’s         negative,         you         can         test         one         value         to         the         left         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e          and         one         value         to         the         right         of         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003c/math\u003e          by         inserting         it         for         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e       in         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi   type=\\\"i\\\"\u003ei\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e.         When         the         answer         is         positive         you         draw         a         solid         line,         and         when         it’s         negative         you         draw         a         dashed         line.         Repeat         this         for         all         the         factors         and         draw         the         sign         charts         underneath         each         other.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     7.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         In         the         end,         you         can         sum         the         signs         of         all         the         sign         charts         you’ve         drawn         to         make         a         sign         chart         representing         the         entire         function         below         the         charts         of         all         the         factors.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1428\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFind the \u003c/span\u003e\u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/how-to-calculate-zeros-or-roots-of-a-function\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ezeros of the function\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                  \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003edecide\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewhere\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003egraph\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eabove\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ebelow\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003e-axis\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                       \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e         \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         First         you         need         to         solve         the         equation         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ef\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e.         In         this         case,         you         can         use         the         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic         formula\u003c/a\u003e         or         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003einspection\u003c/a\u003e.         You         find         the         zeros         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e         and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsub\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eThat means the factorization of the function is \u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Draw         the         sign         chart         for         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFirst, you find where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e:         \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThat means you write 3 on the number line on top of the sign charts.         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThen you find where the sign chart is positive and negative:         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eChoose a value smaller than 3, for example         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, and insert it         into \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Then         you get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         which means the line to the left of 3 should be dashed.         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eChoose a value greater than 3, for example         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, and insert it         into \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Then         you get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         which means the line to the right of 3 should be solid.         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eDraw this sign chart below the number line.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eDraw the sign chart for \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFirst, you find where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math type=\\\"divide\\\"\u003e:         \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThat means you write 4 on the number line on top of the sign charts.         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThen you find where the sign chart is positive and negative:         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eChoose a value smaller than 4, for example         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, and insert it         into \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Then         you get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         which means the line to the left of 4 should be dashed.         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eChoose a value greater than 4, for example         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, and insert it         into \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Then         you get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e,         which means the line to the right of 4 should be solid.         \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eDraw this sign chart below the sign chart for         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eAdd the two sign charts together and draw the resulting sign chart below         them:         \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/fortegn3.svg\\\" alt=\\\"The sign chart of (x-3)(x-4) is found by combining the sign charts of x-3 and x-4\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     6.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003eConclude by stating the intervals you were looking for.         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe graph is above the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis         on the interval \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi   type=\\\"infinity\\\"\u003e∞\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e∪\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi   type=\\\"infinity\\\"\u003e∞\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e         \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eand it’s below the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis         on the interval \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e.         When \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and         \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, the graph is neither         above or below the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis.         \u003c/p\u003e\u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"metaDescription\":\"Sign charts are used to analyze functions or solve inequalities. 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If there are more than one inequality, you’ll have to show where all of them are true. This is how you do it: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1429\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eFinding\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eIntervals\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eInequalities\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Solve         the         inequality/inequalities.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         you         have         only         one         inequality,         draw         a         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-do-sign-charts-work\\\"\u003esign         chart\u003c/a\u003e         and         show         the         interval         where         the         inequality         is         true         with         the         help         of         an         arrow.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         If         you         have         more         than         one         inequality,         draw         sign         charts         for         all         of         them         underneath         each         other.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Mark         the         intervals         where         all         the         inequalities         are         true.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1430\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einequality\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003edraw\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003einterval\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"alignat-star\\\"\u003e                                            \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e     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                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e|\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                            \u003cmspace 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The interval from 9 to infinity is marked as the solution.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can see that the inequality is true in the interval \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi   type=\\\"infinity\\\"\u003e∞\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1431\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 2\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFind\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eintervals\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewhere\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eexpressions\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle 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\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eare\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eboth\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003etrue\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eBegin by setting up and solving the inequalities: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  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you can draw the sign charts for the inequalities and read off where they’re both true. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/konvergensomradeeng.svg\\\" alt=\\\"The solutions x\u0026#x003C;-1 and x\u0026#x003E;-2 are drawn in a sign chart and used to find the solution to the system of inequalities.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can see that both of the inequalities are true on the interval \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  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You solve them using \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-do-sign-charts-work\\\"\u003esign charts\u003c/a\u003e. This is how to do it: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1432\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eSolving\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eQuadratic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eInequalities\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e      \u003c/p\u003e\u003cdl class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e    1.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Rearrange         the         inequality         to         get         0         is         on         the         right-hand         side.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     2.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Rearrange         the         expression         on         the         left-hand         side         in         order         of         descending         degree.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     3.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-factorize-quadratic-expressions\\\"\u003eFactorize         the         expression\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     4.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Make         a         sign         chart.         \u003c/dd\u003e\u003cdt class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e     5.  \u003c/dt\u003e\u003cdd  class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Read         off         the         solution.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1433\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  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              \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                               \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  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\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e You can factorize this by using the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003equadratic formula\u003c/a type=\\\"divide\\\"\u003e: \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNext, you make a sign chart: \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/fortegn2.svg\\\" alt=\\\"The sign charts of x-4 and x+1 are combined to create the sign chart of (x-4)(x+1)\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eYou can read off that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e when \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi   type=\\\"infinity\\\"\u003e∞\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  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Because we had a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003egreater\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ethan or equal \u003c/span\u003esign (\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≥\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e) in the original inequality, the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/numbers/sets-and-systems/interval-and-set-notation\\\"\u003eintervals\u003c/a\u003e are closed on the side that does not tend to infinity. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/other-types-of-inequalities/what-are-quadratic-inequalities\",\"title\":\"What Are Quadratic Inequalities?\",\"locale\":\"en\",\"language\":\"en\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve quadratic inequalities. 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Use polynomial long division to find a factorization and then make a sign chart.\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When you are solving \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities\\\"\u003einequalities\u003c/a\u003e of higher degrees, you use the same method as with \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/other-types-of-inequalities/what-are-quadratic-inequalities\\\"\u003equadratic inequalities\u003c/a\u003e, but sometimes you have to find at least one \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/fundamentals-of-functions/how-to-calculate-zeros-or-roots-of-a-function\\\"\u003ezero of the expression\u003c/a\u003e to be able to \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/basic-algebra/fractions-and-factorization/how-to-factor-variable-expressions\\\"\u003efactorize the expression\u003c/a\u003e you get on the left-hand side. This can be fixed through \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/polynomial-long-division/what-is-polynomial-long-division\\\"\u003epolynomial long division\u003c/a type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1434\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eInequalities\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eof\u003c/span\u003e \u003cspan  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class=\\\"enumerate-enumitem\\\"\u003e         Make         a         \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/intervals-and-sign-charts/how-do-sign-charts-work\\\"\u003esign         chart\u003c/a\u003e         to         read         off         the         solution.         \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1435\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 1\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eFind the \u003c/span\u003e\u003ca href=\\\"/encyclopedia/numbers-and-quantities/numbers/sets-and-systems/interval-and-set-notation\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eintervals\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003ewhere the inequality\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                \u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eis\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003etrue\u003c/span\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003c/b\u003e\u003c/p\u003e                                                                                               \u003cdiv class=\\\"lowerbox\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                           \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFirst, you have to move all the terms over to the left-hand side. Then you need to factorize the cubic equation \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e that appears. You do this by guessing at a solution. When you are guessing at a solution, a natural starting point is the values \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e. By inserting these values into the cubic expression you find out that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, which means \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is a zero of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e. Then you can use polynomial long division by dividing \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, which will give you a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations/how-to-factorize-quadratic-expressions\\\"\u003equadratic expression\u003c/a\u003e. It looks like this: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                   \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                   \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                   \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eSolve this inequality like you would an \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003eequation\u003c/a\u003e. You do that by setting the left-hand side equal to zero. This is where you guess at a solution. Try \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e first: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                       \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                       \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                            \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                                \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eLuckily, you only had to test one solution. You have now found \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e to be a solution to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, meaning that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is a zero of \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e. Then you can perform the polynomial long division \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e÷\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e to factorize \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e further: \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polynomialinequalityeng.svg\\\" alt=\\\"Polynomial long division of x^3+4x^2+x-6 divided by x-1\\\" width=\\\"250\\\" height=\\\"250\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eNext, you factorize the solution to the polynomial long division. By \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/equations/quadratic-equations\\\"\u003einspection\u003c/a\u003e you can see that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                       \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e5\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThat means the factorized left-hand side of the cubic inequality is  \u003cdiv class=\\\"tight\\\"\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                          \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                         \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmphantom\u003e  \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e  \u003c/mphantom\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  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\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e is positive and negative. Because the original inequality asked you to find where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, you’re looking for the intervals where the lines in the sign chart are solid. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/polyulikheteng.svg\\\" alt=\\\"The sign chart of (x-1)(x+2)(x+3) as a combination of the sign charts of its factors\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe sign chart tells you that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e6\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003ewhen \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                            \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e∈\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e∪\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi   type=\\\"infinity\\\"\u003e∞\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"title\":\"How to Solve Inequalities of Degree 3 or 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\u003e     \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eRational inequalities \u003c/span\u003eare \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities\\\"\u003einequalities\u003c/a\u003e with \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e in the denominator. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1436\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e 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\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e        \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e       \u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                 \u003cmspace 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class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e       \u003c/mtd\u003e                                                \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                 \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e          \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e         \u003c/mtd\u003e                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                       \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e Now you can make a sign chart for each of the factors and combine them: \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/fortegnrasjeng.svg\\\" alt=\\\"The sign chart of -2(x+2)(x-1)/(x+1) as a combination of the sign charts of its factors.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eFrom the sign charts you can see that the expression is positive on the interval \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                              \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi   type=\\\"infinity\\\"\u003e∞\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e∪\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThere’s a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/theory-of-functions/types-of-functions/what-are-rational-functions\\\"\u003ediscontinuity\u003c/a\u003e where you have a cross in the charts. The expression isn’t defined for the value where the cross is, which means you will always have an open interval for these points. The reason for this is that you can’t use undefined points in your solution. \u003c/p\u003e                                                                                                                     \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"breadcrumbs\":[{\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities\",\"h1\":\"Equations and Inequalities\",\"_key\":\"100a0f18-3f76-5653-91ef-a410836c9583\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities\",\"h1\":\"Inequalities\",\"_key\":\"d1f753fe-b961-5315-aead-7a4f77983d21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/other-types-of-inequalities\",\"h1\":\"Other Types of Inequalities\",\"_key\":\"cece28dc-35f6-54fd-a061-beb7133fd389\"},{\"_key\":\"33f4e9dd-fa4a-5b52-a6e5-792ec91f7782\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/other-types-of-inequalities/what-are-rational-inequalities\",\"h1\":\"What Are Rational Inequalities?\"}],\"isRootPath\":false,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/equations-and-inequalities/inequalities/other-types-of-inequalities/what-are-rational-inequalities\",\"metaDescription\":\"Learn how to solve rational inequalities. 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The trick is to factorize the numerator and denominator separately, and draw a sign chart of the factors.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null},{\"encyclopediaArticle\":{\"locale\":\"en\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"taskReference\":{\"taskId\":\"encyclopedia-al-loga-00\"},\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/03 Logarithms/01 About Logarithms/101CommonLogarithm.tex\",\"sharedLanguageKey\":null,\"h1\":\"What Is a Logarithm?\",\"metaDescription\":\"Learn about the common logarithm, a logarithm with base 10. Logarithms can exist with any base, but base 10 algorithms are often used in math.\",\"breadcrumbs\":[{\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\",\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\"},{\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms\",\"h1\":\"Logarithms\",\"_key\":\"5746e0ab-24ae-5841-af0f-f1b35cfab6c9\"},{\"_key\":\"28a5f406-035d-57a3-a880-83d1b114e632\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms\",\"h1\":\"About Logarithms\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-a-logarithm\",\"h1\":\"What Is a Logarithm?\",\"_key\":\"be8f5c8c-be73-594b-9ee0-a6ac3a1bc6a2\"}],\"title\":\"What Is a Logarithm?\",\"type\":\"encyclopedia\",\"language\":\"en\",\"image\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-a-logarithm\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8xMDFjb21tb25sb2dhcml0aG0ucG5nIiwiYnVja2V0IjoiaG9tLWZyb250ZW5kLWFzc2V0cyIsInZlcnNpb24iOjN9\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     A \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003elogarithm \u003c/span\u003eis a type of function. There are multiple types of logarithms, but here we are looking at common logarithms. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1438\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCommon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithm\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ecommon logarithm \u003c/span\u003eis also known as the \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003edecadic logarithm\u003c/span\u003e. It looks like this \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                  \u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIt can also be written like this: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e lg\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-open\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-close\\\" stretchy=\\\"false\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e lg\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                           \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1439\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCommon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithm\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eand\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumber\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003e10\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThese are some of the rules you use when solving logarithmic equations. \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                            \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Logarithms can seem a bit odd, but they are just a special definition of a number: The logarithm to the number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is the number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e that you have to use so that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003en\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Like this: \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                  \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                      \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003e because \u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                           \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                 \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                        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\u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                               \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                                     \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≈\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                 \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                              \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                      \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"siblings\":[{\"h1\":\"What Is a Logarithm?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-a-logarithm\"},{\"h1\":\"What Is Euler's Number e?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-eulers-number-e\"},{\"h1\":\"What Is the Natural Logarithm?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-the-natural-logarithm\"},{\"h1\":\"What Are the Logarithm Rules?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-are-the-logarithm-rules\"}],\"isRootPath\":false},\"level\":\"64\",\"metaDescription\":\"Learn about the common logarithm, a logarithm with base 10. Logarithms can exist with any base, but base 10 algorithms are often used in math.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"What Is a Logarithm?\",\"howContent\":null},{\"metaDescription\":\"Learn about the number e, an extremely useful irrational number, named after one of the most famous mathematicians of all time, Leonhard Euler.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"What Is Euler's Number e?\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"isRootPath\":false,\"locale\":\"en\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     We are now going to look at the number                                                                                                                                                                                                                                          \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is a very special number that shows up in many different applications in a variety of subjects, everything from nature to economics. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     The number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is an \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eirrational number\u003c/span\u003e, which means that it can not be written as a fraction. The number is named after one of the most fascinating people in history, Leonhard Euler (1707–1783); it is called Euler’s number. Another name used for the number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003enatural number\u003c/span type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In the box below you will see the definition of the number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. There are some new expressions as well, like \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e lim\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e→\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e\u003c/math\u003e. You call this type of expression a \u003ca href=\\\"/encyclopedia/functions/derivation-and-its-applications/limits\\\"\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003elimit\u003c/span\u003e\u003c/a\u003e, and it’s read as “the limit as \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e                                                                                                                                                                                                                                          approaches 0”. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     You need limit values when you look at values that are infinitely small or large, because they are impossible to calculate with non-quantitative numbers. You can think of the expression in the box as “what happens to \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/math\u003e when \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e becomes infinitely small?” The answer is that the expression becomes \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≈\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" type=\\\"punct\\\"\u003e.\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e7\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"0.17em\\\" class=\\\"thinspace\\\"/\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmspace width=\\\"0.17em\\\" class=\\\"thinspace\\\"/\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e8\u003c/mn\u003e\u003cmi  class=\\\"MathClass-op\\\"\u003e…\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡\u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1442\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNumber\u003c/span\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is defined as \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                   \u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmunder class=\\\"msub\\\"\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e lim\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e→\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/munder  \u003e\u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e+\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003et\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e \u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≈\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\" 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Like all logarithms, it follows the same rules as the rest. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Its appearance is also very similar. The only difference is that \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e has 10 as the base number, which means \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, whilst \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e has \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e as the base number, so \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003eln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. The natural logarithm got its name because it has the natural number \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-eulers-number-e\\\"\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e\u003c/a\u003e as the base. \u003c/p\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1443\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNatural\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithm\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe logarithm \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e is a \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003efunction. \u003c/span\u003eWhen you take the natural logarithm of a number (\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e) you will get a new number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ek\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. The number \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ek\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                      \u003cmi  \u003ek\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo  class=\\\"MathClass-punc\\\"\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eis so that \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                             \u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003eln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmstyle  class=\\\"text\\\"\u003e\u003cmtext  \u003eand\u003c/mtext\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\" class=\\\"qquad\\\"/\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003eln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                      \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     In this figure you can see the graphs of the common logarithm and the natural logarithm. Both cross the \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e-axis at \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, but \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e grows slightly faster than \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e \u003cdiv class=\\\"center\\\"  \u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cimg src=\\\"https://images.houseofmath.com/overleaf-assets/images/ln.svg\\\" alt=\\\"A graph showing the difference between the common and the natural logarithm.\\\" width=\\\"451\\\" height=\\\"451\\\"\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     \"},\"siblings\":[{\"h1\":\"What Is a Logarithm?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-a-logarithm\"},{\"h1\":\"What Is Euler's Number e?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-eulers-number-e\"},{\"h1\":\"What Is the Natural Logarithm?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-the-natural-logarithm\"},{\"h1\":\"What Are the Logarithm Rules?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-are-the-logarithm-rules\"}],\"isRootPath\":false,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-is-the-natural-logarithm\",\"title\":\"What Is the Natural Logarithm?\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8xMDNuYXR1cmFsbG9nYXJpdGhtLnBuZyIsImJ1Y2tldCI6ImhvbS1mcm9udGVuZC1hc3NldHMiLCJ2ZXJzaW9uIjozfQ==\",\"taskReference\":null,\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/03 Logarithms/01 About Logarithms/103NaturalLogarithm.tex\",\"type\":\"encyclopedia\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"sharedLanguageKey\":null,\"metaDescription\":\"Learn about the natural logarithm, a logarithm with Euler's number as its base. 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\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003eln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e                                                                                                                                                                                                                                                  \u003c/dd\u003e\u003c/dl\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     This is true for any logarithm regardless of its base. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1444\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithmic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRules\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eCommon\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithm\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe first logarithmic rule: \u003c/p\u003e\u003ctable 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\u003c/math\u003e\u003c/td\u003e\u003c/tr\u003e\u003c/table\u003e \u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe second logarithmic rule: \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                           \u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003elog\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e 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                                                                                                                                                                         \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eThe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithmic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eRules\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003efor\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003ethe\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eNatural\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithm\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe first logarithmic rule \u003c/p\u003e\u003ctable class=\\\"equation-star\\\"\u003e\u003ctr\u003e\u003ctd\u003e \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" class=\\\"equation\\\"\u003e                                                 \u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003eln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  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Logarithms will allow you to get a variable down from an exponent.\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     An \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003eexponential equation \u003c/span\u003eis an equation where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is in the exponent. To get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e down from the exponent, you have to use \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003elogarithms. \u003c/span\u003eYou are free to use either \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e or \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When working with exponential and \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations\\\"\u003elogarithmic equations\u003c/a\u003e it is important to remember the \u003ca href=\\\"/encyclopedia/algebra/logarithms/about-logarithms/what-are-the-logarithm-rules\\\"\u003elogarithmic and exponential rules\u003c/a\u003e! You solve these types of equations like this: \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1452\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Rule\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"rule-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eExponential\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eEquations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eThe same rules are in place for both \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e and \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e. You are most likely to use \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                                   \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                                                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003eb\u003c/mi\u003e\u003cmspace 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class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the equation \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                                     \u003cmtr\u003e\u003cmtd  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Logarithms will allow you to get a variable down from an exponent.\"},{\"encyclopediaArticle\":{\"image\":null,\"sharedLanguageKey\":null,\"h1\":\"What Are Logarithmic Equations?\",\"language\":\"en\",\"metaDescription\":\"Learn to solve equations where a variable is inside a logarithm and the rules for finding the solution for an equation with this unique situation.\",\"taskReference\":null,\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations/what-are-logarithmic-equations\",\"previewUrl\":\"https://images.houseofmath.com/eyJrZXkiOiJvdmVybGVhZi1hc3NldHMvcHJldmlldy8zMDJsb2dhcml0aG1pY2VxdWF0aW9ucy5wbmciLCJidWNrZXQiOiJob20tZnJvbnRlbmQtYXNzZXRzIiwidmVyc2lvbiI6M30=\",\"isRootPath\":false,\"key\":\"content/en/encyclopedia/02 Algebra/03 Logarithms/03 Logarithmic Equations/302LogarithmicEquations.tex\",\"type\":\"encyclopedia\",\"locale\":\"en\",\"breadcrumbs\":[{\"path\":\"/encyclopedia\",\"h1\":\"Encyclopedia\",\"_key\":\"c0cf1a4b-5f7d-5390-9a52-e6ae2428b50c\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra\",\"h1\":\"Algebra\",\"_key\":\"e9327e4b-42fe-571b-bcb9-83fdb63d5f21\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms\",\"h1\":\"Logarithms\",\"_key\":\"5746e0ab-24ae-5841-af0f-f1b35cfab6c9\"},{\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations\",\"h1\":\"Logarithmic Equations\",\"_key\":\"db5be093-ee70-5f75-bdd2-f3d4e77d9fda\"},{\"_key\":\"5f8f11db-f4d5-56cd-827c-063ff693ac6c\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations/what-are-logarithmic-equations\",\"h1\":\"What Are Logarithmic Equations?\"}],\"siblings\":[{\"h1\":\"What Are Exponential Equations?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations/what-are-exponential-equations\"},{\"h1\":\"What Are Logarithmic Equations?\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations/what-are-logarithmic-equations\"},{\"h1\":\"How to Solve Exponential Inequalities\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations/how-to-solve-exponential-inequalities\"},{\"h1\":\"How to Solve Logarithmic Inequalities\",\"path\":\"/encyclopedia/algebra/logarithms/logarithmic-equations/how-to-solve-logarithmic-inequalities\"}],\"title\":\"What Are Logarithmic Equations?\",\"cssUrl\":\"/3e26151e-8cd9-466a-907f-43e1e928c4e8-en-0.css\",\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Logarithmic equations are where \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e is part of what you take the logarithm of. To get \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e out of the logarithm, we need to use the logarithmic rules or exponents to completely get rid of the logarithm. When you use \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e, you use \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e as your base, when you use \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e\u003c/math\u003e you use \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e as your base. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooinfo\\\" id=\\\"tcolobox-1456\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                                          \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Theory\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003ch3 class=\\\"info-container-title\\\"\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eLogarithmic\u003c/span\u003e \u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-172\\\"\u003eequations\u003c/span\u003e \u003c/h3\u003e \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003eIn logarithmic equations you get rid of the logarithm by taking the exponent on both sides either with base-\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e or with base-\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. You use base-\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e when you are dealing with a Briggs logarithm and base-\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e when you are dealing with the natural logarithm. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                              \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                        \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e 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\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                            \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                                         \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                                          \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                   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Discover the pitfalls that can crop up while working with these inequalities.\",\"metaDescriptionActivity\":null,\"activities\":null,\"assets\":null,\"name\":\"How to Solve Exponential Inequalities\",\"howContent\":null,\"encyclopediaArticle\":{\"locale\":\"en\",\"taskReference\":null,\"isRootPath\":false,\"htmlContent\":{\"html\":\" \u003c/p\u003e\u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     When solving exponential inequalities it is very important that you look at the value of the argument \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e in the logarithm. That value determines whether you have to turn the inequality sign when you multiply or divide by \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e or \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e log\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/math type=\\\"punct\\\"\u003e. \u003c/p\u003e      \u003cdiv class=\\\"tcolorbox foorule\\\" id=\\\"tcolobox-1460\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e                                                                                                                                                                                                                               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\u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003E;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e and you can solve the inequality as usual. \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                           \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mtd\u003e                    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\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ea\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e\u0026#x003C;\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e, you will \u003cspan  class=\\\"ec-lmri-12x-x-144\\\"\u003ehave to \u003c/span\u003eturn the inequality sign as you end up dividing or multiplying by a negative number! \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  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class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                     \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≤\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e   \u003cmrow  \u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e   \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e=\u003c/mo\u003e \u003cmfrac\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003c/mrow\u003e       \u003cmrow  \u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                    \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                               \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                    \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003c/mtable\u003e\u003c/math\u003e You need to flip the inequality sign when you divide by a negative number. You must have an equality sign in the last row as the answer is just changed to look nicer.                                                                                                              \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e  \u003c/div\u003e                                                                                                                                                                                                                                               \u003cdiv class=\\\"tcolorbox fooqaexample\\\" id=\\\"tcolobox-1467\\\"\u003e     \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-title\\\"\u003e \u003cp class=\\\"indent\\\" \u003e     Example 3\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e  \u003cdiv class=\\\"tcolorbox-content\\\"\u003e\u003cp class=\\\"noindent\\\" \u003e\u003cb\u003e\u003cspan  class=\\\"ec-lmbx-12x-x-144\\\"\u003eSolve the inequality \u003c/span\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"inline\\\" \u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold-italic\\\"\u003e\u003cmstyle mathvariant=\\\"bold\\\"\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003eln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≤\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/mstyle\u003e\u003c/math\u003e \u003c/p\u003e\u003cmath mathvariant=\\\"normal\\\"   xmlns=\\\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\\\"   display=\\\"block\\\" \u003e\u003cmtable  columnalign=\\\"left\\\" class=\\\"align-star\\\"\u003e                         \u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi class=\\\"qopname\\\"\u003e ln\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e ⁡ \u003c/mo\u003e \u003cmspace width=\\\"-0.17em\\\" class=\\\"negthinspace\\\"/\u003e \u003cmrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"prefix\\\"\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo fence=\\\"true\\\" form=\\\"postfix\\\"\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mtd\u003e                             \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≤\u003c/mo\u003e \u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                     \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                        \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                         \u003cmspace 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\u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup  \u003e\u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e                                                    \u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-label\\\"\u003e\u003c/mtd\u003e                                   \u003cmtd  class=\\\"align-label\\\"\u003e                                    \u003cmspace width=\\\"2em\\\"/\u003e\u003c/mtd\u003e\u003c/mtr\u003e\u003cmtr\u003e\u003cmtd  columnalign=\\\"right\\\" class=\\\"align-odd\\\"\u003e\u003cmi  \u003ex\u003c/mi\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-bin\\\"\u003e−\u003c/mo\u003e \u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mtd\u003e                                  \u003cmtd  class=\\\"align-even\\\"\u003e \u003cmo  class=\\\"MathClass-rel\\\"\u003e≤\u003c/mo\u003e \u003cmsup\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  \u003ee\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow  \u003e\u003cmi  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