House of Math-logo
House of Math-logo
Logg inn

Arealet mellom to grafer

Når du skal finne arealet mellom to grafer er det noen punkter du må huske å ta hensyn til, disse er:

1.
Arealenes plassering i koordinatsystemet er likegyldig, altså over og under x-aksen er uviktig i denne sammenheng.
2.
For at du skal få et positivt areal i svaret må du alltid ta den øverste grafen minus den nederste.
3.
Punkt 2 gjør at du må lage et integral for hvert område.

Dermed har du at når grafen til f ligger over grafen til g mellom x = a og x = b, er arealet mellom grafene gitt ved:

Formel

Arealet mellom to grafer

A = ∫ abf(x)dx −∫ abg(x)dx = ∫ ab (f(x) − g(x)) dx

NB! Årsaken til at du alltid vil ha den øverste grafen først i differansen er at arealet ellers dukker opp med negativt fortegn. Dersom du ikke tar hensyn til dette, vil du oppleve at svaret kan bli galt.

Studer de to eksemplene nøye, og gå igjennom dem flere ganger slik at det fester seg. Eksemplene viser de aller fleste aspektene du kan få på eksamen!

Eksempel 1

Finn arealet som er avgrenset av funksjonene

f(x) = x3 + 3x2 − 13x − 15 g(x) = 10x + 7

Først tegner du grafene, slik at du ser de avgrensede områdene. I dette tilfellet er det to områder.

Grafene til f og g i samme koordinatsystem og integralet mellom dem

I Område 1 ligger g(x) øverst og i Område 2 ligger f(x) øverst. Du må derfor finne når grafene skjærer hverandre, altså når f(x) = g(x):

x3 + 3x2 − 13x − 15 = 10x + 7.

Når du løser denne likningen, får du at x ≈−6,16, x ≈−0,88 og x ≈ 4,04. Det vil si at A = −6,16, B = −0,88 og C = 4,04, der g(x) ligger øverst mellom − 6,16 og − 0,88 og f(x) ligger øverst mellom − 0,88 og 4,04. Det totale arealet blir derfor:

A = A1 + A2.

Finn først A1:

A1 = ∫ −6,16−0,88x3 + 3x2 − 13x − 15 − (10x + 7)dx = ∫ −6,16−0,88x3 + 3x2 − 23x − 22dx = (1 4x4 + x3 −23 2 x2 − 22x)| −6,16−0,88 = (1 4(−0,88)4 + (−0,88)3 −23 2 (−0,88)2 − 22(−0,88)) −(1 4(−6,16)4 + (−6,16)3 −23 2 (−6,16)2 − 22(−6,16)) ≈ 9,92 − (−174,63) = 184,55

A1 = ∫ −6,16−0,88x3 + 3x2 − 13x − 15 − (10x + 7)dx = ∫ −6,16−0,88x3 + 3x2 − 23x − 22dx = (1 4x4 + x3 −23 2 x2 − 22x)| −6,16−0,88 = (1 4(−0,88)4 + (−0,88)3 −23 2 (−0,88)2 − 22(−0,88)) −(1 4(−6,16)4 + (−6,16)3 −23 2 (−6,16)2 − 22(−6,16)) ≈ 9,92 − (−174,63) = 184,55

Så finner du A2:

A2 = ∫ −0,884,0410x + 7 −(x3 + 3x2 − 13x − 15) dx = ∫ −0,884,04 − x3 − 3x2 + 23x + 22dx = (−1 4x4 − x3 + 23 2 x2 + 22x)| −0,884,04 = ( −1 4(4,04)4 − (4,04)3 + 23 2 (4,04)2 + 22(4,04)) −(−1 4(−0,88)4 − (−0,88)3 + 23 2 (−0,88)2 + 22(−0,88)) ≈ 144,04 − (−9,92) = 153,96

A2 = ∫ −0,884,0410x + 7 −(x3 + 3x2 − 13x − 15) dx = ∫ −0,884,04 − x3 − 3x2 + 23x + 22dx = (−1 4x4 − x3 + 23 2 x2 + 22x)| −0,884,04 = (−1 4(4,04)4 − (4,04)3 + 23 2 (4,04)2 + 22(4,04)) −(−1 4(−0,88)4 − (−0,88)3 + 23 2 (−0,88)2 + 22(−0,88)) ≈ 144,04 − (−9,92) = 153,96

Dermed blir det totale arealet

A = A1 + A2 ≈ 184,55 + 153,96 = 338,5.

Eksempel 2

Finn arealet som er avgrenset av funksjonene

f(x) = 1 2x2 −5 2x g(x) = −5cos (3 2x −3 5)

for x ∈[− 1,23,6,18]

Først tegner du grafene, slik at du ser de avgrensede områdene. I dette tilfellet er det tre områder.

Grafene til f og g i samme koordinatsystem og integralet mellom dem

I Område 1 ligger f(x) øverst, i Område 2 ligger g(x) øverst og i Område 3 ligger f(x) øverst igjen. Du må derfor finne når grafene skjærer hverandre, altså når f(x) = g(x):

1 2x2 −5 2x = −5 cos ⁡ (3 2x −3 5) .

Når du løser denne likningen, får du at x ≈−1,23, x ≈ 1,14, x ≈ 3,85 og x ≈ 6,18. Du får også to skjæringspunkter til, men disse ligger utenfor det aktuelle intervallet. Det vil si at A = −1,23, B = 1,14, C = 3,85 og D = 6,18, der f(x) ligger øverst mellom − 1,23 og 1,14 og fra 3,85 til 6,18. Funksjonen g(x) ligger øverst mellom 1,14 og 3,85. Det totale arealet blir derfor:

A = A1 + A2 + A3.

Først finner du arealet A1:

A1 = ∫ −1,231,141 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ −1,231,141 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3)|−1,231,14 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |−1,231,14 = (1 6(1,14)3 −5 4(1,14)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(1,14) −3 5) ) −(1 6(−1,23)3 −5 4(−1,23)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(−1,23) −3 5) ) ≈ 1,61 − (−4,34) = 5,95

A1 = ∫ −1,231,141 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ −1,231,141 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3) |−1,231,14 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |−1,231,14 = (1 6(1,14)3 −5 4(1,14)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(1,14) −3 5)) −(1 6(−1,23)3 −5 4(−1,23)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(−1,23) −3 5)) ≈ 1,61 − (−4,34) = 5,95

Så finner du arealet A2:

A2 = ∫ 1,143,85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −(1 2x2 −5 2x)dx = ∫ 1,143,85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 2x2 + 5 2xdx = ( − 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3 −1 6x3 + 5 4x2)| 1,143,85 = ( −10 3 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 6x3 + 5 4x2)| 1,143,85 = ( −10 3 cos ⁡ (3 2(3,85) −3 5) −1 6(3,85)3 + 5 4(3,85)2) −(−10 3 cos ⁡ (3 2(1,14) −3 5) −1 6(1,14)3 + 5 4(1,14)2) ≈ 12 − (−1,61) = 13,61

A2 = ∫ 1,143,85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −(1 2x2 −5 2x)dx = ∫ 1,143,85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 2x2 + 5 2xdx = (−5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3 −1 6x3 + 5 4x2) | 1,143,85 = (−10 3 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 6x3 + 5 4x2) | 1,143,85 = (−10 3 cos ⁡ (3 2(3,85) −3 5) −1 6(3,85)3 + 5 4(3,85)2) −(−10 3 cos ⁡ (3 2(1,14) −3 5) −1 6(1,14)3 + 5 4(1,14)2) ≈ 12 − (−1,61) = 13,61

Deretter finner du arealet A3:

A3 = ∫ 3,856,181 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ 3,856,181 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3)|3,856,18 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |3,856,18 = (1 6(6,18)3 −5 4(6,18)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(6,18) −3 5) ) −(1 6(3,85)3 −5 4(3,85)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(3,85) −3 5) ) ≈−6,12 − (−12) = 5,88

A3 = ∫ 3,856,181 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ 3,856,181 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3) |3,856,18 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |3,856,18 = (1 6(6,18)3 −5 4(6,18)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(6,18) −3 5)) −(1 6(3,85)3 −5 4(3,85)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(3,85) −3 5)) ≈−6,12 − (−12) = 5,88

Dermed blir det totale arealet

A = A1 + A2 + A3 ≈ 5,95 + 13,61 + 5,88 = 25,44.

A = A1 + A2 + A3 ≈ 5,95 + 13,61 + 5,88 = 25,44.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Delbrøkoppspalting
Neste oppslagPil som peker til høyre
Omdreiningslegeme om x-aksen
Tilbake