Trekanter – 30°, 60°, 90°

Når du har en trekant med vinklene 30°, 60° og 90°, er lengden av den korteste kateten alltid halvparten av hypotenusen. Du vet også at den lengste kateten er roten av tre ganger den korteste kateten.

30, 60 og 90 trekant

Regel

I en «30°-60°-90°»-trekant har sidelengdene følgende sammenheng:

kort katet = k, lang katet = 3k, hypotenus = 2k,

der 3 1,73.

Eksempel 1

En ´30° 60° 90°ˇ-trekant har hypotenus lik 12cm. Finn lengden av katetene.

Siden dette er en «30°-60°-90°»-trekant, vet du at den korte kateten er halvparten av hypotenusen, altså k = 12cm 2 = 6cm. Du kan nå finne den siste kateten enten ved å bruke av Pytagoras’ setning eller sammenhengen 3k. Her viser jeg begge. Først med Pytagoras:

k2 + 62 = 122 k2 = 144 36 k2 = 108 k 10,39

Så med sammenhengen 3k:

lang katet = 3 k 3 6cm 10,39cm

Den siste kateten er 10,39 cm.

Eksempel 2

Du har en ´30° 60° 90°ˇ-trekant der den lengste kateten er 3cm. Finn lengden av de to andre sidene.

Siden dette er en «30°-60°-90°»-trekant, vet du at den korteste kateten er halvparten av hypotenusen h. Dermed kan du lage følgende likning:

32 + (1 2h)2 = h2 9 = h2 1 4h2 9 = 3 4 h2| 4 3 4 3 9 = h2 12 = h2 3,5 h

Hypotenusen er 3,5 cm. Den korte kateten er halvparten av hypotenusen, altså

k = 3,5cm 2 = 1,75cm.

Eksempel 3

Du har en likesidet trekant der sidene er 6cm. Hva er høyden i trekanten?

Høyden i trekanten er lik den ene kateten i en trekant med vinkler på 30°, 60° og 90°, siden vinklene i en likesidet trekant er 60°. Hypotenusen er 6 cm. Den andre kateten er halvparten av hypotenusen, altså 3 cm.

Likesidet trekant med sidene 6 cm

h2 + 32 = 62 h2 = 36 9 h2 = 27 h 5,2 Høyden h i den likesidede trekanten er dermed 5,2 cm.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!