Bayes' setning og total sannsynlighet

Bayes’ setning forteller deg hvordan du kan regne ut P (AB) ut ifra P (BA), P (A) og P (B). Som du ser av eksempelet under er det utrolig nyttig i den virkelige verden. Bayes’ setning sier dette:

Formel

Bayes’ setning

P (AB) = P (A) P (BA) P (B)

I mange oppgaver får du ikke oppgitt P (B). Du kan ofte regne den ut på følgende måte:

P (B) = P (A B) + P (A B) = P (A) P (BA) + P (A) P (BA)

Eksempel 1

I USA bruker man løgndetektor i politiavhør for å forsøke å avgjøre om vitner eller mistenkte snakker sant. I en studie av løgndetektoren oppdaget man at:

  • Hvis en person lyver, er det 90% sannsynlig at løgndetektoren vil avsløre dette.

  • Hvis en person snakker sant, er det 15% sannsynlig at løgndetektoren tror at personen lyver.

Et vitne i en kriminalsak spennes fast til løgndetektor. Den påstår at vitnet lyver. Hva er sannsynligheten for at vitnet faktisk lyver hvis sannsynligheten for løgn er 25%?

Her må du bruke Bayes’ setning. Det er bare å holde tunga rett i munnen og ta en ting av gangen.

1.
Først skriver du ned det du vet ut ifra informasjonen over: L = personen lyver, S = personen snakker sant, AL = løgndetektoren indikerer løgn, AS = løgndetektoren indikerer sannhet.
2.
Du vet at P (L) = 0,25. Da blir
P (S) = 1 P (L) = 0,75.
3.
Videre vet du at P (ALL) = 0,90 og P (ALS) = 0,15.

Du ønsker å finne den betingede sannsynligheten for at P (LAL). Her bruker du Bayes’ setning, men først må du regne ut den totale sannsynligheten P (AL). Du kan sette formelen for den rett inn i likningen, men det er mer oversiktlig og mindre sjanse for feil om du regner den ut helt før du setter den inn i Bayes:

P (AL) = P (L) P (ALL) + P (S) P (ALS) = 0,25 0,90 + 0,75 0,15 = 0,3375.

Nå setter du alle tallene inn i Bayes’ setning og finner svaret

P (LAL) = P (L) P (ALL) P (AL) = 0,25 0,90 0,3375 = 0,67.

Det er 67 % sannsynlig at vitnet lyver. Dette var jo ikke akkurat overbevisende!

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!