Aritmetiske rekker

Aritmetiske rekker er rekker der du må legge til en bestemt differanse $d$ for å komme til det neste leddet i rekken. Det som er fint med aritmetiske rekker er at de er svært oversiktlige og at alle oppgavene kan løses ved hjelp av tre formler. Her kommer de:

Formel

Aritmetiske rekker

Å finne differansen i rekken:

d = a_{n + 1} - a_{n}

Å finne det $n$ -te leddet i rekken:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Å finne summen av rekken:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Eksempel 1

Du har den aritmetiske rekken

2 + 4 + 6 + 8 + \dots

Finn differansen, et uttrykk for det $n$ -te leddet, og summen av de første 50 leddene.

For disse oppgavene kan du sette rett inn i formlene fra boksen om aritmetiske rekker. For å finne differansen bruker du to etterfølgende tall fra rekken. Da blir det som dette:

d = a_{n + 1} - a_{n} = 4 - 2 = 2 .

Uttrykket for det $n$ -te leddet er gitt ved

\begin{array}{l} a_{n} & = a_{1} + (n - 1) d \\ = 2 + (n - 1) \cdot 2 \\ = 2 + 2 n - 2 \\ = 2 n . \end{array}

For å finne summen av de 50 første leddene må du først finne $a_{50}$ . Dette gjør du ved å sette rett inn i formelen for det $n$ -te leddet der $n = 50$ . Da får du:

a_{50} = 2 + (50 - 1) \cdot 2 = 2 + 49 \cdot 2 = 100 .

Du kan nå regne ut summen av de 50 første leddene:

S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550 .

Eksempel 2

Du vet at ledd nummer 3 i en aritmetisk rekke er 7 og ledd nummer 6 er 12. Finn differansen $d$ og det første leddet $a_{1}$ .

Dette er et klassisk tilfelle hvor du løser oppgaven ved hjelp av et likningssett. Du vet at formelen for det $n$ -te leddet i en aritmetisk rekke er $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Dersom du rydder opp i informasjonen fra oppgaven finner du at $a_{3} = 7$ og at $a_{6} = 12$ . Dermed kan du bruke disse som utgangspunkt for de to likningene.

Først gir $a_{3} = 7$ at

\begin{align} a_{1} + (3 - 1) d & = 7, \\ a_{1} + 2 d & = 7, \\ a_{1} & = 7 - 2 d . & (1) \end{align}

Videre gir $a_{6} = 12$ at

\begin{array}{l} a_{1} + (6 - 1) d & = 12, \\ a_{1} + 5 d & = 12 . \end{array}

Du setter inn Likning (1) og får

\begin{array}{l} (7 - 2 d) + 5 d & = 12, \\ 3 d & = 5 | : 3, \\ d & = \frac{5}{3} . \end{array}

Dette setter du inn igjen i Likning (1) og finner at

a_{1} = 7 - 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{21}{3} - \frac{10}{3} = \frac{11}{3} .

Du har dermed funnet at $a_{1} = \frac{11}{3}$ og $d = \frac{5}{3}$ .

Eksempel 3

Et telefonabonnement har en startpris på 3 kroner, og en minuttpris på 2 kroner per minutt. La $a_{n}$ være prisen for en samtale på $n$ minutter. Finn en aritmetisk rekke for prisen på abonnementet. Hva er differanse $d$ ? Finn et uttrykk for summen av rekken.

Dersom du ringer i ett minutt vil prisen være $3 + 2 \cdot 1 = 5 kr$ , dersom du ringer i to minutter vil prisen være $3 + 2 \cdot 2 = 7 kr$ , dersom du ringer i tre minutter vil prisen være $3 + 2 \cdot 3 = 9 kr$ , generelt har du da at en samtale på $n$ minutter vil koste

3 + 2 \cdot n kroner .

Dette kan du ordne som en aritmetisk rekke der prisen for ett minutt er ledd $a_{1}$ , prisen for to minutter er ledd $a_{2}$ , prisen for tre minutter er ledd $a_{3}$ og prisen for $n$ minutter er ledd $a_{n}$ . Den aritmetiske rekken er dermed:

5 + 7 + 9 + \dots + (3 + 2 \cdot n)

Du ser at hvert ledd øker med 2, slik at differansen $d = 2$ (pris per minutt).

For å finne et uttrykk for summen av rekken setter du inn i formelen for summen av en aritmetisk rekke. Det blir som dette:

\begin{array}{l} S_{n} & = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n \\ = \frac{5 + (3 + 2 \cdot n)}{2} \cdot n \\ = \frac{8 + 2 n}{2} \cdot n \\ = \frac{2 (4 n + n^{2})}{2} \\ = 4 n + n^{2} \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er rekker i matematikk?

Neste oppslag

Tallrekker og serielån

Tilbake