Як розв'язувати нерівності третього степеня і вище

Для розв’язування нерiвностей вищого степеня застосовується той самий метод, що й для квадратних нерiвностей, але часом потрiбно знайти щонайменше один нуль виразу, щоб мати змогу розкласти на множники вираз, який ми отримуємо по лiвий бiк. У пригодi стане дiлення многочленiв стовпчиком.

Правило

Нерiвностi вищого степеня

1.
Збери усi члени по один бiк нерiвностi, як правило лiвий.
2.
Спрости вираз.
3.
Розклади на множники.
4.
Побудуй дiаграму знакiв для зчитування розв’язку.

Приклад 1

Знайди iнтервали, в яких нерiвнiсть

x3 + 6x2 6 > 2x2 x

є дiйсною

Спершу перемiсти всi члени в лiву частину нерiвностi. Потiм потрiбно розкласти на множники кубiчне рiвняння P(x). Для цього вгадуємо розв’язок. Пiд час вгадування доцiльно почати зi значень x = 1,1, 2,2,. Пiдставивши цi значення у кубiчний вираз, з’ясовуємо, що P(1) = 0, а отже, x = 1 є нулем виразу P(x). Пiсля цього виконуємо дiлення многочлена стовпчиком: дiлимо P(x) на x 1 i отримуємо квадратичний вираз:

x3 + 6x2 6 > 2x2 x x3 + 6x2 6 2x2 + x > 0 x3 + 4x2 + x 6 > 0

Розв’язуємо цю нерiвнiсть як рiвняння. Для цього задаємо лiву частину рiвною нулю. Вгадуємо розв’язок, починаючи з x = 1:

P(1) = (1)3 + 4(1)2 + (1) 6 = 1 + 4 + 1 6 = 0.

На щастя, довелося перевiрити лише один розв’язок. Ми визначили, що x = 1 є розв’язком P(x) = 0, а отже, x = 1 є нулем P(x). Тепер можна виконати дiлення многочлена стовпчиком для P(x):(x 1), щоб далi розкласти на множники P(x):

Дiлення многочлена стовпчиком для x̂3+4x̂2+x-6, що дiлиться на x-1

Далi розкладаємо на множники розв’язок дiлення многочлена. Шляхом перевiрки визначаємо, що

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Це означає, що розкладена на множники лiва частина кубiчної нерiвностi

= (x3 + 4x2 + x 6) = (x 1) (x2 + 5x + 6) = (x 1)(x + 2)(x + 3)

(x3 + 4x2 + x 6) = (x 1) (x2 + 5x + 6) = (x 1)(x + 2)(x + 3)

Побудуй дiаграму знакiв для кожного множника у виразi

(x 1)(x + 2)(x + 3),

(x3 + 4x2 + x 6) = (x 1)(x + 2)(x + 3),

i знайди точки, в яких частина x3 + 4x2 + x 6 додатна та вiд’ємна. Через те, що початкова нерiвнiсть передбачала визначення точок, у яких x3 + 6x2 6 > 2x2 x, потрiбно знайти iнтервали, для яких прямi на дiаграмi знакiв є суцiльними.

Дiаграма знакiв виразу (x-1)(x+2)(x+3), яка є результатом об’єднання дiаграм  знакiв його множникiв

Згiдно з дiаграмою знакiв,

x3 + 6x2 6 > 2x2 x

коли

x (3,2) (1,).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!