Що таке ірраціональні рівняння?

Iррацiональнi рiвняння — це рiвняння, що мають змiнну x у пiдкорiнному виразi. Цей тип рiвнянь може давати стороннi розв’язки, отже процес їх розв’язування передбачає перевiрку розв’язкiв.

Розв’язуємо рiвняння цього типу так:

Правило

Iррацiональнi рiвняння

1.
Переносимо квадратний корiнь окремо по один бiк рiвняння.
2.
Пiдносимо обидвi частини рiвняння до квадрата.
3.
Обчислюємо i розв’язуємо рiвняння як звичайно.
4.
Перевiряємо розв’язок рiвняння.

Перевiрка розв’язку рiвняння є складовою методу розв’язування рiвнянь цього типу. Часто буває, що рiвняння дає стороннi розв’язки. Саме на етапi «Перевiрка розв’язку» можна виявити та усунути цi стороннi розв’язки.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння x x2 1 = 1

x x2 1 = 1 x2 1 = 1 x x 1 = x2 1 (x 1) 2 = x2 12 x2 2x + 1 = x2 1 2x = 2 x = 1 Тепер перевiряємо розв’язок: Лiвий бiк = 1 12 1 = 1 Правий бiк = 1

Оскiльки лiвий бiк = правому боку, розв’язком є x = 1.

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння x + 1 = x 3

x + 1 = x 3 x + 12 = (x 3) 2 x + 1 = x2 6x + 9 x2 7x + 8 = 0 Тепер розв’язуємо квадратний вираз за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки. Застосуємо квадратну формулу: x = 7 ± (7 ) 2 4 1 (8) 2 1 = 7 ±49 32 2 = 7 ±17 2 ,

Тодi можливими розв’язками є:

x = 7 + 17 2 1.438  i  x = 7 17 2 5.562
x = 7 + 17 2 1.438 i x = 7 17 2 5.562

Тепер потрiбно перевiрити розв’язок, пiдставивши

x = 7 + 17 2 1.438

(Якщо пiд час перевiрки розв’язкiв спостерiгається несуттєве вiдхилення десяткових дробiв, це можна пояснити округленням):

Лiвий бiк = 1.438 + 1 = 1.561 Правий бiк = 1.438 3 = 1.562

Оскiльки лiвий бiк правому боку, x = 7+17 2 1.438 — це стороннiй розв’язок.

Тепер пiдставляємо

x = 7 17 2 5.562

(Якщо пiд час перевiрки розв’язкiв спостерiгається несуттєве вiдхилення десяткових дробiв, це можна пояснити округленням).

Лiвий бiк = 5.562 + 1 = 2.562 Правий бiк = 5.562 3 = 2.562

Оскiльки лiвий бiк = правому боку, то x = 717 2 5.562 є розв’язком.

Отже, розв’язком рiвняння є

x = 7 17 2 5.562.

Зверни увагу! Перевiрка вiдповiдi є складовою методу розв’язування, оскiльки пiднесення до квадрата iнодi може давати стороннi розв’язки.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!