Рiвняння не має дiйсних розв’язкiв. Щоб ми не робили, нi додатне число, помножене саме на себе, нi вiд’ємне число, помножене саме на себе, не дасть у добутку вiд’ємне число. Отже, щоб мати змогу добувати квадратнi коренi з вiд’ємних чисел, математики запровадили те, що називається комплексними числами. Комплекснi числа ґрунтуються на уявнiй одиницi .
Теорiя
Уявна одиниця визначається як . Уявнi числа — це кратнi уявної одиницi. Кожне уявне число можна записати як
де .
Комплексне число складається з двох частин: дiйсної частини та уявної частини. Дiйсна частина комплексного числа — це дiйсне число на прямiй дiйсних чисел — просто звичайне число, до яких ми звикли. Уявна частина комплексного числа — це дiйсне число, що стоїть попереду уявної одиницi . Записуючи комплекснi числа, можна роздiлити їх на дiйсну та уявну частини. Потiм число записують в алгебраїчнiй формi запису комплексного числа, яка вiдрiзняється вiд тригонометричної форми запису комплексного числа.
Теорiя
В алгебраїчнiй формi комплексне число записують так
де . Тут — дiйсна частина , а — уявна частина .
Дiйсну частину комплексного числа часто позначають . Уявну частину комплексного числа часто позначають . Множину всiх комплексних чисел позначають .
Приклад 1
Знайди та для комплексного числа
Дiйсна частина комплексного числа — це завжди число без . Тут ми маємо .
Уявна частина комплексного числа завжди стоїть попереду . Зверни увагу, що не входить до уявної частини числа. Тут ми маємо .
Множина комплексних чисел мiстить як уявнi, так i дiйснi числа. Можна вважати, що уявнi числа — це комплекснi числа без дiйсної частини, а дiйснi числа — це комплекснi числа без уявної частини. Отже, множина комплексних чисел мiстить множину дiйсних чисел:
Помiркуй
Попри свою назву, уявнi числа не бiльш вигаданi, нiж, наприклад, вiд’ємнi числа. Комплекснi та уявнi числа мають важливе значення в багатьох роздiлах математики та природничих науках, зокрема у фiзицi.