Що таке вектор-функції?

Теорiя

Вектор-функцiї

Вектор-функцiя — це функцiя, яка записується у виглядi вектора:

(x (t),y (t))

x (t) — це координата x вектора, записаного у виглядi функцiї t, а y (t) — це координата y вектора, також записаного у виглядi функцiї t.

Важливi сфери застосування вектор-функцiй — положення, швидкiсть, прискорення та середня скалярна швидкiсть. Ранiше ми вже розглядали зв’язок мiж цими поняттями, але тепер поглянемо на них iз погляду векторiв. Новим поняттям є лише середня скалярна швидкiсть, але не хвилюйся: це просто довжина вектора швидкостi. Щоб з’ясувати швидкiсть прискорення, просто обчислюємо довжину вектора прискорення.

Теорiя

Вектор-функцiї

Вектор положення:

r (t) = (x (t),y (t))

Вектор швидкостi:

v (t) = r (t) = (x (t),y (t))

Середня скалярна швидкiсть:

|v (t)| = x (t ) 2 + y (t ) 2

Вектор прискорення:

a (t) = v (t) = r (t)

Прискорення:

a = |a (t)| = x (t ) 2 + y (t ) 2

Приклад 1

Комаха, що вiдлiтає вiд квiтки, знаходиться в положеннi r (t) = (t2, 2t2 t + 1). Знайди вектор швидкостi, середню скалярну швидкiсть, вектор прискорення та величину прискорення комахи, якщо t = 2.

Щоб знайти вектор швидкостi, потрiбно диференцiювати вектор положення r (t). Отримуємо

v (t) = (2t, 4t 1) .

Потiм пiдставляємо t = 2 у v (t), щоб знайти вектор швидкостi для t = 2.

v(2) = (2 2, 4 2 1) = (4, 7)

Тепер зручно знайти середню скалярну швидкiсть, адже насправдi це довжина вектора швидкостi v (t). Отже, маємо

|v(2)| = | (4, 7)| = 42 + 72 = 16 + 49 = 65.

|v(2)| = | (4, 7)| = 42 + 72 = 16 + 49 = 65.

Прискорення — це похiдна вiд вектора швидкостi v (t). Як бачимо, пiсля диференцiювання не лишається змiнних, а отже, прискорення має постiйне значення. Ось результат:

a (t) = (2, 4)

Довжина цього вектора становить

a = |a (2)| = 22 + 42 = 4 + 16 = 20,

а отже, прискорення дорiвнює 20.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!