Що таке рівняння прямої, яка проходить через задану точку?

Пряма визначається двома точками або однiєю точкою i кутовим коефiцiєнтом прямої. Iснує винахiдлива формула, за допомогою якої можна знайти формулу для прямої за однiєю точкою та кутовим коефiцiєнтом:

Формула

Рiвняння прямої, яка проходить через задану точку

Формула, яка визначає пряму з кутовим коефiцiєнтом a, що проходить через точку (x1,y1), має вигляд

y y1 = a(x x1).

Розв’яжи рiвняння щодо y, i вираз матиме вигляд функцiї для прямої y = ax + b.

Приклад 1

Знайди функцiю для прямої, що проходить через точку (2, 5), з кутовим коефiцiєнтом 3

Пiдстав числа у рiвняння прямої, що проходить через задану точку, i розв’яжи для y:

y 5 = 3(x 2) y = 3x 6 + 5 = 3x 1

Приклад 2

Знайди функцiю для прямої, що проходить через точки (3, 9) i (3,9)

Спершу знаходимо кутовий коефiцiєнт:

a = 9 9 3 (3) = 18 6 = 3.

Потiм вибираємо одну з точок у завданнi та пiдставляємо її разом iз кутовим коефiцiєнтом у рiвняння прямої, що проходить через задану точку:

y (9) = 3(x 3) y + 9 = 3x + 9 y = 3x

Оскiльки b = 0, ми знаємо, що пряма проходить через початок координат. Функцiя для прямої має вигляд

y = 3x.

Якщо вiдома функцiя f(x), то можна використовувати рiвняння прямої, що проходить через задану точку, щоб знайти рiвняння дотичної прямої в точцi на графiку f(x). Це пояснюється тим, що кутовий коефiцiєнт дотичної дорiвнює значенню похiдної функцiї f(x) в тiй самiй точцi.

Формула

Рiвняння довiльної дотичної

y y1 = f(x 1)(x x1),

де (x1,y1) — це точка на дотичнiй (часто точка дотику) а f(x1) — це кутовий коефiцiєнт точки. Коли використовуєш формулу, завжди розв’язуй рiвняння для y, тобто перенеси y по один бiк рiвняння.

Приклад 3

Дано функцiю f(x) = x2 + 3x 2; знайди рiвняння дотичної в точцi x = 3

Щоб заповнити пропуски в рiвняннi, потрiбно знайти значення y1 i f(x1). Ми знаємо, що x1 = 3, тому y1 = f(3), а f(x1) = f(3). Спочатку обчислимо f(x):

f(x) = 2x + 3 f(x 1) = f(3) = 2(3) + 3 = 9 y1 = f(x1) = f(3) = (3)2 + 3(3) 2 = 16

Пiдставляємо значення у рiвняння i отримуємо

y 16 = 9(x 3) y = 9x 27 + 16 = 9x 11

Приклад 4

Нехай g(x) = esin x. Знайди рiвняння дотичної в точцi x = 0.

Потрiбно знайти значення f(x1) i y1. Спочатку диференцiюємо функцiю:

f(x) = cos x esin x.

Тепер можна обчислити f(x1). Оскiльки x1 = 0, отримуємо

f(x 1) = f(0) = cos 0 esin 0 = 1 e0 = 1.

Знаходимо y1, пiдставивши x1 у f(x):

y1 = f(x1) = f(0) = esin 0 = e0 = 1.

Пiдставляємо всi значення у рiвняння i отримуємо

y 1 = 1(x 0) y = x + 1

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!