Тут ти дiзнаєшся, як застосовувати метод пiдстановки для лiнiйної оптимiзацiї.
Правило
Теорiя
Цiльова функцiя часто є функцiєю прибутку або доходу, що визначається , яка є вартiстю товару, одиниць якого було продано, i , вартiстю товару, одиниць якого було продано.
Приклад 1
Фабрика, що випускає фiрмову продукцiю, виготовлятиме чоловiчi сорочки та спiдницi для дизайнера Тома Форда. Обидва товари вироблятимуться з кашемiру та шовку. На сорочку йде два вiдрiзи кашемiру та один вiдрiз шовку. На спiдницю йде один вiдрiз кашемiру та три вiдрiзи шовку. На фабрицi є 200 вiдрiзiв кашемiру та 300 вiдрiзiв шовку. Сорочка коштує , а спiдниця — . Скiльки спiдниць i чоловiчих сорочок потрiбно виробити, щоб збiльшити дохiд фабрики, i яким буде цей дохiд?
Спершу задаємо обмеження в текстi завдання у виглядi нерiвностей. Нехай — це кiлькiсть вироблених чоловiчих сорочок, а — кiлькiсть вироблених спiдниць. Кашемiр та шовк потрiбно розподiлити мiж сорочками та спiдницями. Отримуємо такi нерiвностi:
Кiлькiсть сорочок, якi ми виробляємо, може становити 0 сорочок i бiльше. Отже,
Кiлькiсть спiдниць, якi ми виробляємо, може становити 0 спiдниць i бiльше. Отже,
Тепер складаємо нерiвнiсть для наявного кашемiру. На сорочку йде два вiдрiзи, а на спiдницю — один. Один рулон загалом вмiщує вiдрiзiв. Отримуємо
Потiм складаємо нерiвнiсть для наявного шовку. На сорочку йде один вiдрiз, а на спiдницю — три. Один рулон вмiщує вiдрiзiв шовку. Отримуємо
У кiнцевому пiдсумку маємо систему нерiвностей:
Тепер потрiбно розв’язати нерiвностi щодо . Спочатку розв’язуємо нерiвнiсть (3):
Нерiвнiсть (4):
З iншими двома нерiвностями нiчого робити не потрiбно.
Зобразимо двi нерiвностi у виглядi графiкiв у системi координат i позначимо область, у якiй вони перетинаються. Як вiдомо, нас цiкавить лише перший квадрант, оскiльки i , i бiльшi або дорiвнюють 0. Отримуємо таку фiгуру:
Знаходимо для цiєї фiгури оптимальну точку. Як ми знаємо, це одна з точок у межах позначеної областi, в якiй графiки перетинаються мiж собою або перетинають осi. Якщо використовується метод пiдстановки, потрiбно знайти всi точки перетину. Як бачимо з графiка,
Точка — це точка, в якiй перетинає вiсь . Тут . Отримуємо
Це точка , яка вiдповiдає виробництву сорочок i спiдниць.
Точка — це точка, в якiй перетинає . Так отримуємо систему рiвнянь, якi потрiбно розв’язати. Ранiше ми переписали нерiвностi (3) i (4), щоб перенести лiворуч. Якщо натомiсть розглянути їх як рiвняння, то отримаємо ту саму вiдповiдь, лише замiнимо на знак рiвностi. А отже, отримуємо
Тепер можна задати вирази для рiвними один одному i отримати
Пiдставляємо це значення у , оскiльки це найпростiший вираз. Отримуємо
Це дає нам точку , яка вiдповiдає виробництву сорочок i спiдниць.
Точка — це точка, в якiй перетинає вiсь . Тут . Отримуємо
Це дає нам точку , яка вiдповiдає виробництву сорочок i спiдниць.
Точка вiдповiдає виробництву сорочок i спiдниць.
Рiзнi точки вище вiдповiдають рiзним комбiнацiям виробництва сорочок i спiдниць.
Обчислюємо дохiд фабрики, пiдставивши значення i , якi ми знайшли в попередньому пунктi, у функцiю доходу , i з’ясовуємо, яка точка дає найбiльше значення.
Як вiдомо, чоловiча сорочка коштує $, а спiдниця коштує $. Пiдставляємо цi значення замiсть i у у формулi ; отримуємо
Тепер обчислюємо дохiд вiд рiзних варiантiв виробництва:
Дохiд для точки становить
Дохiд для точки становить
Дохiд для точки становить
Дохiд для точки становить
Це означає, що фабрика заробляє $, виробляючи чоловiчих сорочок i спiдниць. Це оптимальне виробництво, оскiльки iншi обсяги виробництва дали нижчi прибутки.