Name: Hvordan beviser du Pytagoras' setning?
Uploaded: 2024-06-20T06:22:08.280Z
Channel: House of Math
Description: Pytagoras' setning kan bevises på over 300 forskjellige måter. I denne videoen vil du se ett av disse bevisene.

Pytagoras' setning kan bevises på over 300 forskjellige måter. I denne videoen vil du se ett av disse bevisene.

Hvordan beviser du Pytagoras setning?
Det finnes mer enn 300 måter å bevise Pytagoras setning på.
Her er én av dem.
Du ønsker å bevise at for enhver rettvinklet trekant er a i annen, pluss b i annen, lik c i annen.
La oss starte beviset ved å studere et kvadrat.
Alle sidene i kvadratet er like lange, og alle vinklene er 90 grader.
Kvadratet kan deles inn i fire identiske rettvinklede trekanter og et kvadrat, slik som vist på figuren.
Hvordan dette gjøres vil forklares senere i videoen.
Du kan bevise Pytagoras setning ved å bruke det faktum at arealene til disse to figurene er like.
Sagt på en annen måte, arealet av det større kvadratet til venstre er lik summen av arealene til de fire rettvinklede trekantene, pluss arealet av det mindre kvadratet midt imellom dem til høyre.
Denne likheten kan også uttrykkes som en likning:
Venstre areal er lik høyre areal.
Det viser seg at etter litt algebra, kan denne likningen, når den fylles med uttrykkene for arealene, omdannes til Pytagoras setning:
a i annen, pluss b i annen, er lik c i annen.
Kult, ikke sant?
Nå er det på tide å finne ut hvorfor.
La oss starte med denne figuren.
Først deler du én av kantene inn i to deler slik som vist.
Det spiller ingen rolle hvor, og de to delene trenger ikke å være like.
Navngi "ett" linjestykke a, og det andre linjestykket b.
Nå deler du opp de andre tre sidene på samme måte.
Deretter tegner du linjestykker mellom punktene på nabosidene som dette,
og lager en firkant og fire rettvinklede trekanter.
De fire trekantene er identiske, eller kongruente, fordi to par av samsvarende sider, og den samsvarende vinkelen mellom dem, er kongruente.
Det betyr at lengdene på hypotenusene i disse trekantene også er de samme.
La oss kalle lengdene på hypotenusene c.
Men hva med firkanten i midten?
Den ser ut som et kvadrat, men kan du være sikker?
Det er på tide å finne ut av det.
La oss legge til noen farger for å hjelpe til med å se de forskjellige formene bedre.
Lengdene på sidene til den indre firkanten er alle lik c, fordi de er hypotenusene til trekantene, som er kongruente.
Det som gjenstår er å vise at alle vinklene er 90 grader.
Hvis de er det, er firkanten definitivt et kvadrat.
Husk at vinkelsummen til en trekant er 180 grader.
I en rettvinklet trekant er én av vinklene nøyaktig 90 grader.
Det betyr at summen av de to gjenværende vinklene må være 90 grader, siden 180 grader minus 90 grader er lik 90 grader.
Så summen av vinklene med enten én eller to streker er derfor 90 grader.
La oss nå zoome inn på bare én av kantene til det ytre kvadratet.
Husk at en halv rotasjon er 180 grader.
Siden vinklene merket med én og to streker er til sammen 90 grader, må den gjenværende vinkelen du ønsker å finne her, kalt
alfa, være 180 grader minus 90 grader, som er 90 grader.
Det samme argumentet kan brukes for alle fire vinklene i firkanten,
noe som betyr at alle fire av disse vinklene er rette vinkler,
og vi vet allerede at alle sidene er like.
Firkanten må derfor være et kvadrat.
Nå har du all informasjonen du trenger for å bevise Pytagoras setning ut fra de to figurene.
Husk likningen vi introduserte tidligere.
Venstre areal er lik høyre areal.
Basert på hva du har lært om figurene våre her, vet du nå at arealet til den blå figuren er lik summen av arealene til de rosa og lilla figurene.
Så venstre areal er lik høyre areal, blir da blått areal er lik lilla areal pluss rosa areal.
Arealet til det blå kvadratet er mengden a pluss b, i annen,
fordi lengden på sidene er a pluss b.
Arealet til det lilla kvadratet er c i annen,
fordi lengdene på alle sidene til kvadratet er c.
Til slutt er arealet til én av de rettvinklede trekantene a b over 2.
Siden det er 4 trekanter, ganger du a b over 2 med 4 for å få arealet av alle de rosa trekantene.
Det gir deg følgende likning og litt morsom algebra.
Mengden a pluss b i annen, er lik c i annen, pluss fire ganger a b over 2.
Venstre side av likningen er kvadratet av en sum.
Husk at mengden a pluss b i annen er det samme som mengden a pluss b, ganger mengden a pluss b, som er a i annen pluss 2a b pluss b i annen.
Høyre side av likningen er c i annen, pluss 4 ganger a b over 2.
Du kansellerer 4 mot 2, som gir 2 i telleren.
Så 4a b over 2 er lik 2a b.
Nå har du følgende likning:
a i annen, pluss 2a b, pluss b i annen, er lik c i annen, pluss 2a b.
Du kan nå trekke fra 2a b fra begge sider av likningen, og du sitter igjen med a i annen pluss b i annen, er lik c i annen, som er Pytagoras setning.
Morsomt, ikke sant? Du har brukt kvadrater for å bevise en egenskap om trekanter.
Det finnes mer enn 300 måter å bevise Pytagoras setning på.
Du har akkurat sett én av dem.