Hvordan løse likninger med substitusjon

Å forenkle kompliserte uttrykk ved hjelp av substitusjon er ofte lurt. Når du substituerer bytter du et uttrykk med en bokstav. Ofte brukte bokstaver er u, v, w, z.

Teori

Substitusjon

Når du substituerer setter du en ny bokstav lik en del av uttrykket ditt

1.
Sett u = faktor og regn videre med det.
2.
Sett tilbake i u og finn svaret.

Eksempel 1

Løs likningen 22x 2x+1 + 1 = 0

Denne kan se litt snål ut, men med litt hjelp fra potensreglene blir den finfin.

22x 2x+1 + 1 = 0

Gjør om likningen ved hjelp av potensreglene for å substituere:

(2x) 2 2 2x + 1 = 0

Du ser at 2x = u gir en vanlig andregradslikning:

u2 2 u + 1 = 0 u2 2u + 1 = 0

Du ser at dette er en andregradslikning som løses med abc-formelen eller ved faktorisering. Du finner derfor uverdiene:

u2 2u + 1 = 0 (u 1) (u 1) = 0 (u 1) 2 = 0 u 1 = 0 u = 1

Setter verdien for u inn i 2x = u og løser for x:

2x = 1 lg 2x = lg 1 x lg 2 = 0 (lg 1 = 0) x = 0 lg 2 = 0

Eksempel 2

Løs likningen x4 5x2 + 6 = 0

For å løse denne type likninger hjelper det at du gjenkjenner at x4 = (x2) 2. Da kan du substituerer og løse som en vanlig andregradslikning:

x4 5x2 + 6 = 0 (x2) 2 5x2 + 6 = 0

Setter x2 = u og substituerer:

u2 5u + 6 = 0

Denne likningen kan du løse med abc-formelen eller ved inspeksjon:

u = 5 ± (5 ) 2 4 1 6 2 1 = 5 ±25 24 2 = 5 ±1 2 = 5 ± 1 2

Nå deler du opp i to likninger, én med pluss i telleren og én med minus i telleren:

u1 = 5 + 1 2 u2 = 5 1 2 = 6 2 = 4 2 = 3 = 2

Til slutt setter du disse verdiene tilbake i substitusjonen 2x = u for å finne verdiene til x:

x2 = 3 x2 = 2 x = ±3 x = ±2

Svaret du får er dermed x1 = 3, x2 = 3, x3 = 2 og x4 = 2.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!