Den deriverte til en funksjon når , er et tall som sier hvor mye grafen til funksjonen stiger (eller avtar) når -koordinaten er .
Den deriverte i skrives .
Nedenfor er sammenhengen mellom den deriverte, momentan vekstfart og stigningstallet til tangenten til grafen til .
Teori
Før du går løs på forklaringen under må du vite hva og hva betyr ( leses som «delta-»).
betyr «endring i ». Altså, avstanden mellom to -verdier.
betyr en avstand fra .
Se nøye på figurene nedenfor når du leser teksten.
Du har funksjonen (blå graf), og du har trukket en sekant (rosa linje) mellom punktene og . Som du har lært tidligere er stigningstallet til den rosa linjen den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen mellom disse punktene. I tillegg har du lært at dersom disse to punktene ligger nærme hverandre så vil den gjennomsnittlige vekstfarten nærme seg den momentane vekstfarten.
Dersom du reduserer vil høyre skjæringspunkt bevege seg nærmere venstre skjæringspunkt . Da vil både avstanden mellom og , og avstanden mellom og , bli mindre. Sekanten går gradvis mot å ligge tangent til funksjonen.
Når avstanden mellom skjæringspunktene nærmer seg null så vil den rosa linjen ligge tangent på i . Stigningstallet til tangenten er da lik den momentane vekstfarten i punktet .
Du så på en tilfeldig -verdi, så dersom du nå formulerer det du gjorde matematisk får du en ny funksjon for stigningstallet til for alle -verdier. Det er nettopp det den deriverte funksjonen er.
Ved å bruke det du har lært om momentan vekstfart og grenseverdier får du følgende definisjon av den deriverte:
Teori
Eksempel 1
Gitt . Slik deriverer du ved hjelp av definisjonen:
Når du deriverer en funksjon, vil du som oftest ikke bruke definisjonen av den deriverte, men benytte deg av derivasjonsregler.