Sammen med kontinuitet kan du også snakke om hvorvidt en funksjon er deriverbar. En funksjon er deriverbar når den både er kontinuerlig i punktet og ikke har en «knekk». En knekk oppstår dersom stigningstallet plutselig forandrer seg. Dette ser du lett på bildet under.
Funksjoner med «knekk» oppstår når du har funksjoner som har delt forskrift. Det vil si at du har et funksjonsuttrykk på et intervall og et annet funksjonsuttrykk på et annet intervall. På figuren under ser du at når (blå graf) og at når (grønn graf). Matematisk skrives dette
Selv om grafen, i dette tilfellet, er kontinuerlig i , er den altså ikke deriverbar i . Knekken oppstår når du kan tegne mange tangenter til grafen i et punkt. I punkter hvor du kan tegne mange tangenter er ikke den deriverte bestemt og du kan si at den ikke er deriverbar.
For å forklare deriverbarhet på en skikkelig måte må du vite hva det vil si at grenser kommer ovenfra og nedenfra.
Teori
En grense kommer ovenfra når du følger -verdiene fra -verdier større enn og beveger deg mot . Du skriver det
En grense kommer nedenfra når du følger -verdiene fra -verdier mindre enn og beveger deg mot . Du skriver det
Du kan nå få definisjonen av deriverbarhet.
Teori
Du sier at en funksjon er deriverbar i et punkt hvis er kontinuerlig i og
NB! Når du skal sjekke deriverbarhet i en delt forskrift bruker du det funksjonsuttrykket som er definert for verdier mindre enn i og det funksjonsuttrykket som er definert for verdier større en i .
Eksempel 1
Avgjør om
fra bildet over er deriverbar
For å svare på dette må du først sjekke om er kontinuerlig. Altså, er for alle ? For er
og for er
Grenseverdien eksisterer og du kan konkludere med at er kontinuerlig.
Nå må du sjekke om
for alle . Du begynner med å finne :
Du sjekker om er deriverbar i punktet . Grensen nedenfra først:
Så grensen ovenfra:
Siden
så vet du at ikke er deriverbar.
Eksempel 2
Finn hvor funksjonen
er kontinuerlig og deriverbar
Siden dette er en rasjonal funksjon, så vet du at den er diskontinuerlig der den har vertikale asymptoter. Dette skjer når nevneren blir 0. Du løser for dette:
Funksjonen er altså kontinuerlig for alle verdier av unntatt for og . Du skriver dette matematisk som at ( element i uten og ).
Siden en funksjon må være kontinuerlig i et punkt for å være deriverbar der, kan du også konkludere med at funksjonen ikke er deriverbar i punktene og . Spørsmålet er da om det finnes andre punkter der ikke er deriverbar. Du sjekker ved å regne ut
Først finner du er uttrykk for den deriverte:
Du vet at er definert for alle foruten der nevneren i ikke er definert. Dette skjer der nevneren er 0. Du setter derfor nevneren lik 0 og løser for :
Altså er deriverbar for alle ( element i uten og ).