Produktregelen for derivasjon

Produktregelen er den derivasjonsregelen du bruker når du har to eller flere funksjoner ganget med hverandre.

La u(x) og v(x) være to funksjoner av x. Da har vi en regel vi kan bruke for å finne den deriverte av produktet av disse to funksjonene. Produktet av disse funksjonene vil være den nye funksjonen u(x) v(x). For enkelhets skyld, skriver vi bare u og v for funksjonene u(x) og v(x), men husk at disse er funksjoner av x.

Formel

Produktregelen

(uv) = uv + uv,

der u = u(x) og v = v(x).

Eksempel 1

Deriver uttrykket x22x

Her kaller du u = x2 og v = 2x. Da får du at u = 2x og at v = 1 2x. Regningen blir som følger

(x22x) = (x2) 2x + x2 (2x) = 2x 2x + x2 1 2x = 2x2x + x2 2x = 2x2x 2x 2x + x2 2x = 4x2 2x + x2 2x = 5x2 2x

Eksempel 2

Deriver uttrykket ex (2x3 + 3x)

Her kaller du u = ex og v = 2x3 + 3x. Da får du at u = ex og at v = 6x2 + 3. Regningen blir som følger

[ex (2x3 + 3x)] = (ex) (2x3 + 3x) + ex (2x3 + 3x) = ex (2x3 + 3x) + ex (6x2 + 3) = 2x3ex + 3xex + 6x2ex + 3ex = ex (2x3 + 6x2 + 3x + 3)

[ex (2x3 + 3x)] = (ex) (2x3 + 3x) + ex (2x3 + 3x) = ex (2x3 + 3x) + ex (6x2 + 3) = 2x3ex + 3xex + 6x2ex + 3ex = ex (2x3 + 6x2 + 3x + 3)

Eksempel 3

Deriver uttrykket (x2 + x 1) ln x

Her kaller du u = x2 + x 1 og v = ln x. Da får du at u = 2x + 1 og at v = 1 x. Regningen blir som følger

[ (x2 + x 1) ln x] = (x2 + x 1) ln x + (x2 + x 1) (ln x) = (2x + 1) ln x + (x2 + x 1) 1 x = 2x ln x + ln x + x + 1 1 x

[ (x2 + x 1) ln x] = (x2 + x 1) ln x + (x2 + x 1) (ln x) = (2x + 1) ln x + (x2 + x 1) 1 x = 2x ln x + ln x + x + 1 1 x

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!