Brøkregelen for derivasjon

Brøkregelen er den derivasjonsregelen du bruker når du har brøkfunksjoner.

Formel

Brøkregelen

(u v) = uv uv v2

der u = u(x) og v = v(x).

NB! Noen ganger kan du være heldig ved at du kan forkorte det forenklede uttrykket, men ofte er ikke dette mulig, og da lar du nevneren stå (uten å regne ut parentesen).

Eksempel 1

Deriver uttrykket 2x + 1 ex

Her kaller du u = 2x + 1 og v = ex. Da får du at u = 2 og at v = ex. Regningen blir som følger

(2x + 1 ex ) = (2x + 1) ex (2x + 1) (ex) (ex) 2 = 2 ex (2x + 1) ex (ex) 2 = 2ex 2xex ex (ex) 2 = ex 2xex (ex) 2 = ex(1 2x) (ex) 2 = 1 2x ex

Eksempel 2

Deriver uttrykket 3x3 2x2 + 7 x 1

Her kaller du u = 3x3 2x2 + 7 og v = x 1. Da får du at u = 9x2 2 og at v = 1. Regningen blir som følger

= (3x3 2x2 + 7 x 1 ) = 1 (x 1)2( (3x3 2x2 + 7) (x 1) (3x3 2x2 + 7) (x 1)) = (9x2 4x) (x 1) (3x3 2x2 + 7) 1 (x 1)2 = 9x3 9x2 4x2 + 4x 3x3 + 2x2 7 (x 1)2 = 6x3 11x2 + 4x 7 (x 1)2

(3x3 2x2 + 7 x 1 ) = (3x3 2x2 + 7) (x 1) (3x3 2x2 + 7) (x 1) (x 1)2 = (9x2 4x) (x 1) (3x3 2x2 + 7) 1 (x 1)2 = 9x3 9x2 4x2 + 4x 3x3 + 2x2 7 (x 1)2 = 6x3 11x2 + 4x 7 (x 1)2

Ved å sette inn x = 1 i polynomet i telleren, ser vi at x = 1 ikke er et nullpunkt. Dermed kan ikke brøken forkortes, så da lar du derfor siste linje være svaret ditt.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!