Grenseverdier er verdier som sier noe om hva som skjer når et uttrykk går mot en bestemt verdi. Denne verdien kan være , eller et hvilket som helst tall på tallinjen.
Når det er snakk om grenseverdier bruker du en bestemt notasjon:
Du leser dette «grenseverdien av uttrykk når går mot ». Her er «» en forkortelse for «limit», som på norsk betyr «grense». Matematikken liker å gjøre ting så enkelt og intuitivt som mulig.
Regel
For polynomet
er grenseverdien
lik funksjonsverdien for alle . Altså,
Eksempel 1
Finn grenseverdien til når
La være et polynom av grad . Altså
Om går mot pluss eller minus uendelig, så vil etterhvert bli det dominerende leddet i uttrykket og dermed bestemme om funksjonsverdien til er positiv eller negativ. Ser du på grenseverdien når , så vil det dominerende leddet påvirke fortegnet til funksjonsverdien til ved at går mot pluss uendelig om er et partall, og mot minus uendelig om er et oddetall. Nedenfor er en oppsummering av de ulike tilfellene:
Regel
For og partall er
For og partall er
For og oddetall er
For og oddetall er
Et polynom vil uansett gå mot enten pluss eller minus uendelig når .
Eksempel 2
Finn grenseverdien
Her er et polynom av grad 3 og dermed av oddetallsgrad. I tillegg er koeffisienten til den høyeste -potensen negativ. Grenseverdien er derfor
Regel
Når både telleren og nevneren i en brøk går mot null, når , kan du faktorisere telleren og nevneren hver for seg for å finne grenseverdien til brøken .
Når både telleren og nevneren i en brøk går mot uendelig, når , kan du dividere alle leddene i uttrykket med den høyeste potens av som finnes i uttrykket.
NB! Når du har en enkel brøk og så blir . Alle brøker der kun finnes i nevneren, og hvor går mot uendelig, blir lik null. Dette er god stemning!
Regel
Når gjelder følgende likheter:
NB! er ikke et tall! Slik at uansett hvor stort tall du velger på tallinjen så vil være uendelig mye større. Det gjør at forholdet mellom teller og nevner når eller alltid vil være uendelig stort.
Eksempel 3
Finn grenseverdien
Du har da at
Eksempel 4
Finn grenseverdien
Du har da at
Eksempel 5
Finn grenseverdien
Du har da at
Regel
For er
For er
For er
Eksempel 6
Se på funksjonen . Vil funksjonsverdien gå mot null eller uendelig når ?
Her må du gjøre om funksjonsuttrykket til eksponentialfunksjonen for å finne vekstfaktoren, siden det ikke er opplagt om vekstfaktoren er større eller mindre enn 1:
Dermed ser vi at
NB! Du kunne ha sett at ettersom er en strengt voksende funksjon og .