Kontinuitet for funksjoner

Kontinuitet er en egenskap ved en funksjon. Når du snakker om kontinuitet beskriver du hvorvidt grafen til en funksjon eksisterer for alle verdier av x på et intervall, og at disse punktene ligger inntil hverandre.

At en graf er kontinuerlig betyr at du kan tegne den uten å løfte blyanten. Det finnes grafer som er slik at y-verdien til en gitt x-verdi ligger et stykke unna y-verdien til en tilstøtende x-verdi. Disse grafene er ikke kontinuerlige. Grafer som ikke er definert for alle x-verdier på et intervall er heller ikke kontinuerlige på det intervallet. Her ser du tegninger av de ulike tilfellene:

En kontinuerlig funksjon og to diskontinuerlige funksjoner av litt forskjellig karakter

Teori

Kontinuitet

  • Når lim xaf(x) = f(a) er f kontinuerlig for x = a.

  • Når lim xaf(x)f(a), er f diskontinuerlig for x = a.

Når grafen er sammenhengende for alle x i et intervall, er f(x) kontinuerlig på intervallet.

Eksempel 1

Avgjør om funksjonen f(x) = x22x x1 er kontinuerlig for x = 1

lim x1x2 2x x 1 = lim x1x2 x2 2x x2 x x2 1 x2 = lim x1 1 2 x 1 x 1 x2 = lim x1 1 2 1 1 1 1 12 = 1 2 1 1 = ikke definert Du ser at f(x) er diskontinuerlig siden du har fått et ugyldig uttrykk ved utregning av grenseverdien.

Eksempel 2

Avgjør om funksjonen f(x) = x22x+2 x+3 er kontinuerlig for x = 2

lim x2x2 2x + 2 x + 3 = (2)2 2(2) + 2 2 + 3 = 4 + 4 + 2 1 = 10 Du ser at f(x) er kontinuerlig siden du har fått en tallverdi som svar når du regnet ut grenseverdien.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!