>Grunnleggende om funksjoner>Nullpunkter

Nullpunkter

Nullpunktene til en funksjon forteller i hvilke punkter grafen til funksjonen skjærer $x$ -aksen. Siden det er snakk om skjæring med $x$ -aksen, så vet du at $y = 0$ . Det vil si at du kan finne nullpunktene ved regning ved å løse likningen $f (x) = 0$ .

Regel

Nullpunkter

Du finner nullpunktene til en funksjon ved å løse likningen

f (x) = 0 .

Fortegnslinjen til $f (x)$ forteller hvor grafen til $f$ ligger over og under $x$ -aksen, og hvor $f (x)$ skjærer $x$ -aksen.

Grafen til f(x) med nullpunktene markert

Eksempel 1

Finn nullpunktene til $f (x) = x^{2} + 5 x + 6$

Du finner nullpunktene ved å løse likningen $f (x) = x^{2} + 5 x + 6 = 0$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} \\ = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ = \frac{- 5 \pm 1}{2} \end{array}$

Dette gir

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3, \\ x_{2} & = \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 . \end{array}

Du har dermed nullpunkter i $(- 3, 0)$ og $(- 2, 0)$ .

Eksempel 2

Finn nullpunktene til $g (x) = 2 \sin (2 x) + 1$ på intervallet $x \in [0, π ⟩$

Nullpunktene kommer nok en gang av å løse likningen $g (x) = 0$ : $\begin{array}{l} 2 \sin (2 x) + 1 & = 0 \\ \sin (2 x) & = - \frac{1}{2} \end{array}$

Grunnlikningen har løsningene

\begin{array}{l} 2 x & = - \frac{π}{6} + 2 π n, \\ 2 x & = π - (- \frac{π}{6}) + 2 π n . \end{array}

Du løser disse for $x$ og får

\begin{array}{l} x & = - \frac{π}{12} + π n, \\ x & = \frac{7 π}{12} + π n . \end{array}

Siden $x \in [0, π ⟩$ får du at $x \in {\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}}$ . Du har dermed nullpunkter i $(\frac{7 π}{12}, 0)$ og $(\frac{11 π}{12}, 0)$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Skjæringspunkter

Tilbake