Logistisk modell

Veksten flater ut for mange hendelser i verden rundt deg. Logistisk vekst beskriver slike hendelser. Logistisk vekst brukes ofte om populasjonen i en dyrebestand, hvordan et tre vokser eller kostnadene i en bedrift. Så fort du har tilfeller der veksten går fra eksponentiell vekst til utflating vil du ha glede av å modellere etter en logistisk modell.

Teori

Logistisk modell

Funksjonsuttrykket til en logistisk modell er på formen:

N (t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{- b t}} .

Den logistiske kurven er den velkjente S-kurven som er slik at når $t \to \infty$ , går $N (t)$ mot $C$ . Funksjonen $N (t)$ øker hurtigst når $N (t) = \frac{C}{2}$ . Bildet av grafen til en logistisk modell ser slik ut:

Eksempel 1

I 1940 ble 45 padder introdusert til en Stillehavsøy. Bestandutviklingen fulgte den logistiske modellen
$B (x) = \frac{4 500 000}{1 + 112 400 \cdot e^{- 1, 14 x}},$

hvor $x$ er antall år etter 1940. Ifølge modellen, hvilken verdi vil bestanden stabilisere seg på?

Grafen til den logistiske funksjonen vil stabilisere seg på $y = C$ . Bestanden vil dermed etter tid stabilisere seg på $4 500 000$ padder.

Når vokste bestanden mest?

Vekstfarten til $B (x)$ er størst når $B^{″} (x) = 0$ . Dette gjøres enklest med et digitalt hjelpemiddel. I denne oppgaven vil du få