Punktets potens

Sirkel med punktets potens

Du bruker punktets potens for å finne lengder og vinkler i geometriske figurer som involverer sirkler.

Formel

Punktets potens

Om du har en sirkel og et punkt P utenfor sirkelen og du drar to linjer fra P gjennom sirkelen og kaller skjæringspunktene mellom sirkelen og linjene for A, B, C og D, får du følgende formel:

PA PB = PC PD.

Formelen fremkommer ved ved at du gjenkjenner at trekantene PBD og PCA er formlike. De er formlike fordi de har to like vinkler, og da er den tredje vinkelen bestemt. Vinkelen P er felles for begge trekantene, og PBD = PCA fordi de spenner over samme vinkelbue, nemlig vinkelbuen AD. Dermed kan du bruke forholdet mellom samsvarende sider og komme frem til formelen, slik som dette:

PB PC = PD PA | PA PA PB PC = PD | PC PA PB = PD PC

Sirkel med tangent og formel for punktets potens

Noen linjer vil treffe sirkelen kun i ett punkt – nemlig tangenter. Da blir likningen for punktets potens

(PA)2 = PC PD

Dette gir mening, fordi du kan tenke deg at det er to skjæringspunkter som ligger oppå hverandre, og har akkurat samme avstand til P. Si at punktene A og B sammenfaller, da blir PB = PA. Setter du dette inn i den første formelen ser du at den andre fremkommer. Slik som dette:

PA PB = PD PC PA PA = PD PC (PA)2 = PD PC

Eksempel 1

To linjer skjærer en sirkel i punktene A, B, C og D. De samme to linjene krysser hverandre et punkt P utenfor sirkelen. Gitt at PA = 2, PB = 4, PC = 6, hva er lengden av PD?

I dette tilfellet er det lett å gjenkjenne punktets potens og du kan derfor sette rett inn i formelen og løse likningen for PD. Du får dermed:

PA PB = PD PC 2 4 = PD 6 PD = 8 6 = 4 3

Eksempel 2

To linjer skjærer en sirkel i punktene A, B, C og D. De samme to linjene krysser hverandre et punkt P utenfor sirkelen. Den ene linjen går igjennom sentrum av sirkelen med radius 5. Gitt at PA = 4, AB = 10, PC = 5, hva er lengden av PD?

I denne oppgaven er punktets potens litt mer skjult, men hintet ligger i linjer som skjærer en sirkel. I formelen for punktets potens trenger du PA = 4, PB = 10 + 4 = 14, PC = 5 og PD er den ukjente. Sett så inn og regn ut:

PA PB = PD PC 4 14 = PD 5 PD = 56 5 = 11,2

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!