Du bruker punktets potens for å finne lengder og vinkler i geometriske figurer som involverer sirkler.
Formel
Om du har en sirkel og et punkt utenfor sirkelen og du drar to linjer fra gjennom sirkelen og kaller skjæringspunktene mellom sirkelen og linjene for , , og , får du følgende formel:
Formelen fremkommer ved ved at du gjenkjenner at trekantene og er formlike. De er formlike fordi de har to like vinkler, og da er den tredje vinkelen bestemt. Vinkelen er felles for begge trekantene, og fordi de spenner over samme vinkelbue, nemlig vinkelbuen . Dermed kan du bruke forholdet mellom samsvarende sider og komme frem til formelen, slik som dette:
Noen linjer vil treffe sirkelen kun i ett punkt – nemlig tangenter. Da blir likningen for punktets potens
Dette gir mening, fordi du kan tenke deg at det er to skjæringspunkter som ligger oppå hverandre, og har akkurat samme avstand til . Si at punktene og sammenfaller, da blir . Setter du dette inn i den første formelen ser du at den andre fremkommer. Slik som dette:
Eksempel 1
To linjer skjærer en sirkel i punktene , , og . De samme to linjene krysser hverandre et punkt utenfor sirkelen. Gitt at , , , hva er lengden av ?
I dette tilfellet er det lett å gjenkjenne punktets potens og du kan derfor sette rett inn i formelen og løse likningen for . Du får dermed:
Eksempel 2
To linjer skjærer en sirkel i punktene , , og . De samme to linjene krysser hverandre et punkt utenfor sirkelen. Den ene linjen går igjennom sentrum av sirkelen med radius 5. Gitt at , , , hva er lengden av ?
I denne oppgaven er punktets potens litt mer skjult, men hintet ligger i linjer som skjærer en sirkel. I formelen for punktets potens trenger du , , og er den ukjente. Sett så inn og regn ut: