Hva er en periferivinkel og hva er en sentralvinkel?

Sirkel med en periferivinkel og en sentralvinkel

En vinkel med toppunkt på sirkelperiferien kalles en periferivinkel.

En vinkel med toppunkt i sirkelsenteret kalles en sentralvinkel.

Formel

Periferivinkel og sentralvinkel når utspent over samme sirkelbue

Dersom periferivinkelen v utspenner samme vinkelbue som en sentralvinkelen u, har du at sentralvinkelen er dobbelt så stor som periferivinkelen:

u = 2 v.

Tenk på dette

Bevis for formelen om periferivinkler og sentralvinkler

Se nøye på figuren!

Sirkel med periferivinkel og sentralvinkel

Fra figuren får du følgende informasjon:

  • AS = BS = PS siden de er radien i sirkelen.

  • Derfor er ASP og BSP likebeinte.

  • Dette medfører at w = 180° 2x,

  • og at z = 180° 2y.

  • Dermed blir u = 360° w z.

  • Du har også at v = x + y.

Nå fletter du dette sammen punktvis oppover og får at:

u = 360° w z = 360° (180° 2x) (180° 2y) = 360° 180° + 2x 180° + 2y = 2x + 2y = x + x + y + y = (x + y) + (x + y) = v + v = 2v

Q.E.D

Eksempel 1

Finn alle vinklene i de to trekantene

Sirkel med sentralvinkel og periferivinkel

Siden du kjenner periferivinkelen så vet du at sentralvinkelen er dobbel så stor. Dermed får du at

S = 2 40° = 80°.

Trekant ASC er en likebeint trekant siden AS = CS er radien i sirkelen. Dermed vet du at

CAS = ACS = 180° 80° 2 = 50°.

Trekant ABC har vinkel B = 40°; du må dermed finne CAB og ACB. Siden du vet at SAB = 20°, så har du at

CAB = 50° + 20° = 70°.

Da blir den siste vinkelen

ACB = 180° 40° 70° = 70°.

Du har nå funnet alle vinklene i de to trekantene.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!