Hva er sinussetningen?

Trekant med vinkler og sider

Enhetssirkelen viser at sin 1(A) kan gi to vinkler på intervallet [0°, 180°]. Det er derfor svært viktig at du er sikker på at du har fått riktig vinkel når du bruker denne formelen. Dersom vinkelen du har virker feil i forhold til tegningen eller opplysningene du har fått oppgitt, prøv å regne ut 180° minus vinkelen du har funnet,

180° v

NB! Det er smart å sette den ukjente oppe til venstre i disse likhetene. Husk at du kun skal bruke to av de tre leddene i formelen! De tre leddene er tatt med for å vise at alle forholdene er like.

Formel

Sinussetningen

Gitt to vinkler og én side, eller to sider og én vinkel, da har du at

a sin A = b sin B = c sin C (1) sin A a = sin B b = sin C c (2)

Regel

Bruksområde

Du kan bruke sinussetningen til

  • Å finne en side dersom du har to vinkler og én motstående side til en av vinklene. Formel (1).

  • Å finne en vinkel dersom du har en vinkel og to sider, der én av sidene er motstående til den vinkelen du skal finne. Formel (2).

I begge tilfeller bruker du CAS til beregningene og arcsin(<x>) for inversfunksjonen  sin 1(x).

Eksempel 1

Du har firkanten ABCD med AB = 12, AD = 6, CD = 5 og ABD = 30°. Finn A og diagonalen BD.

Det er lurt å tegne en hjelpefigur. Her er den:

To trekanter og en firkant i samme figur

Finn først ADB:

sin ADB 12 = sin 30° 6 | 12 sin ADB = 12 sin 30° 6 = 1 ADB = sin 1(1) = 90° A = 180° 90° 30° = 60°

For å finne diagonalen BD kan du bruke Pytagoras’ setning eller sinussetningen. Her brukes sinussetningen:

BD sin 60° = 6 sin 30° | sin 60° BD = 6 sin 60° sin 30° 6 0,866 0,5 10,4

Siden BD 10,4.

Eksempel 2

En trekant ABC er gitt ved at vinkel A = 40°, AC = 8,0cm og BC = 6,0cm. Tegn trekanten og finn kantene og vinklene.

Du tegner først et linjestykke l og markerer punktet A, og lager en vinkel A = 40°. Deretter setter du av AC = 8,0cm langs venstre vinkelbein. Du vet ikke ennå hvor B ligger, men du vet at BC = 6,0cm. Sett derfor passeren i C og slå en bue. Du ser at den skjærer l i to punkter. Kall punktene for B1 og B2. Det er dermed to trekanter AB1C og AB2C som oppfyller disse kravene, som vist i figurene under.

Trekant med med tilhørende likesidet trekant

Se først på AB1C.

Trekant med vinkel 40 grader, to sider 8 og 6, to spisse vinkler

Finn B ved bruk av sinussetningen:

sin B1 8 = sin 40° 6 | 8 sin B1 0,857 B1 59°

Vinkel C blir dermed

C 180° 59° 40° = 81°

Finner nå siden AB ved hjelp av cosinussetningen:

AB12 = 62 + 82 2 8 6 cos 81° = 85 AB1 = 85 9,22

Så tar du for deg AB2C.

Trekant med vinkel 40 grader, to sider 8 og 6, en stump og en spiss vinkel

Begynner med vinkel B2. Denne finner du ved hjelp av teorien om supplementvinkler. Fra figuren over ser du at B1B2C er likebeint. Derfor er vinkel B1 og B2 supplementvinkler, slik at

B2 = 180° B1 180° 59° = 121°

Dermed blir

C = 180° B1 B2 180° 40° 121° = 19°

C = 180° B1 B2 180° 40° 121° = 19°

Finn nå AB2 ved å bruke sinussetningen:

AB2 sin 19° = 6 sin 40° | sin 19° AB2 = 3

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!