Liste over trigonometriske identiteter

Følgende identiteter brukes mye innenfor trigonometri, og du vil se at du får bruk for disse når du løser slike oppgaver.

Formel

Trigonometriske identiteter

1.
cos 2α + sin 2α = 1
2.
sin (α + π 2 ) = cos α
3.
cos (α + π 2 ) = sin α
4.
sin 2α = 2 sin α cos α
5.
cos 2α = cos 2α sin 2α = 2 cos 2α 1 = 1 2 sin 2α
cos 2α = cos 2α sin 2α = 2 cos 2α 1 = 1 2 sin 2α
6.
sin(α+β) = sin α cos β+ cos α sin β
7.
sin(αβ) = sin α cos β cos α sin β
8.
cos(α+β) = cos α cos β sin α sin β
9.
cos(αβ) = cos α cos β+ sin α sin β
10.
tan α = sin α cos α

Eksempel 1

Vis at cos (π 4 + v) = 2 2 (cos v sin v)

For å regne ut dette bruker du formelen

cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β.

Da blir utregningen:

cos (π 4 + v) = cos π 4 cos v sin π 4 sin v = 2 2 cos v 2 2 sin v = 2 2 (cos v sin v).

Eksempel 2

Finn eksaktverdien til sin π 12

For å løse denne oppgaven skriver du at sin(α) = sin(π α) og bruker sammenhengen

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Da blir utregningen:

sin ( π 12) = sin (π π 12) = sin (11π 12 ) = sin (π 6 + 3π 4 ) = sin (π 6 ) cos (3π 4 ) + cos (π 6 ) sin (3π 4 ) = 1 2 (2 2 ) + 3 2 2 2 = 6 2 4

sin ( π 12) = sin (π π 12) = sin (11π 12 ) = sin (π 6 + 3π 4 ) = sin (π 6 ) cos (3π 4 ) + cos (π 6 ) sin (3π 4 ) = 1 2 (2 2 ) + 3 2 2 2 = 6 2 4

Eksempel 3

Gitt sin v = 3 2 , finn cos v

For å regne ut dette bruker du formelen

cos 2α + sin 2α = 1.

Da blir utregningen:

cos 2v + sin 2v = 1 cos 2v = 1 sin 2v

Dermed er

cos v = ±1 sin 2 v = ±1 (3 2 ) 2 = ±1 3 4 = ±1 4 = ±1 2

Eksempel 4

Gitt cos 2v + sin 2v = tan 2v, finn sin v

For å løse denne må du bruke flere av sammenhengene over for så å løse ut sin v:

2 cos 2v + sin 2v = tan 2v 1 sin 2v + sin 2v = sin 2v cos 2v 1 = sin 2v cos 2v| cos 2v cos 2v = sin 2v 1 sin 2v = sin 2v 1 = 2 sin 2v| : 2 1 2 = sin 2v

cos 2v + sin 2v = tan 2v 1 sin 2v + sin 2v = sin 2v cos 2v 1 = sin 2v cos 2v | cos 2v cos 2v = sin 2v 1 sin 2v = sin 2v 1 = 2 sin 2v | : 2 1 2 = sin 2v

Dermed er

sin v = ±1 2 = ± 1 2 = ±2 2 .

Eksempel 5

Vis at cos(2α) = cos 2α sin 2α

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg:

cos(2α) = cos(α + α) = cos α cos α sin α sin α = cos 2α sin 2α

Q.E.D

Eksempel 6

Vis at sin(2α) = 2 sin α cos α

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg:

sin(2α) = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α sin α

Q.E.D

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!