Kombinatorikk – på hvor mange måter?
Kombinatorikk brukes i sannsynlighetsregning på alle klassetrinn. Derfor er det viktig at du begynner å forstå dette så tidlig som mulig. Å regne kombinatorikk er å regne på hvor mange forskjellige måter noe kan gjøres.
Tenk deg at du en dag ikke klarer å bestemme deg for hva du skal kle på deg blant tre T-skjorter, to bukser og to gensere. På hvor mange forskjellige måter kan du velge ut en genser, en T-skjorte og en bukse? Kombinatorikken har til oppgave å svare på denne typen spørsmål.
Når du skal regne ut hvor mange forskjellige måter noe kan gjøres, må du multiplisere alle mulighetene. I vårt tilfelle blir det:
Det er dermed forskjellige kombinasjoner for hvordan du kan kle på deg om morgenen.
Eksempel 1
Du er ute og spiser middag på en restaurant, og ser på menyen. Du orker ikke en forrett, men er veldig glad i dessert. Du vil derfor spise én hovedrett og én dessert. Det er tre ulike hovedretter: Pølser, spaghetti og pizza. Du kan velge mellom tre ulike desserter: Brownies, boller eller kake. Hvor mange ulike toretters middager kan du bestille?
Løsningen vil være å multiplisere antall retter i hver kategori med hverandre: Antall hovedretter ganget med antall desserter.
Antall mulige kombinasjoner blir dermed . Det er dermed ni forskjellige måter du kan sette sammen én hovedrett og én dessert på når det er tre hovedretter og tre desserter.
Regel
Kombinatorikk
Når du løser kombinatoriske oppgaver, ganger du antall elementer i hver kategori med hverandre.
Tenk på dette
Du har fått en mobiltelefon og skal velge ny kode på telefonen. Koden skal til sammen være på fire sifre. Hvor mange ulike koder kan du velge?
For hvert siffer du skal velge, har du ti valgmuligheter, tallene fra til . Dette gjelder for alle de fire sifrene. Altså har du ti valgmuligheter for det første sifferet, ti for det andre, ti for det tredje og ti for det fjerde.
Igjen må du multiplisere antall muligheter for hvert siffer. Det blir som følger:
Det er mange muligheter, det!
Ofte er man interessert i antall måter man kan gjøre ett eller annet på. For å snakke mer om kombinatorikk er det et par begreper som er viktige å kjenne til.
Teori
Viktige begreper
-
Ordnet utvalg
-
betyr at rekkefølgen har betydning. Det vil for eksempel si at tallfølgen 1, 2, 3, 4 og 4, 3, 2, 1 telles som to muligheter.
-
Uordnet utvalg
-
betyr at rekkefølgen ikke har noen betydning. Det vil for eksempel si at tallfølgen 1, 2, 3, 4 og 4, 3, 2, 1 telles som én mulighet.
-
Tilbakelegging
-
betyr at samme utfall kan trekkes flere ganger.
-
Uten tilbakelegging
-
betyr at samme utfall kun kan trekkes én gang.
Eksempel 2
Bjørnson, Ibsen, Kielland og Lie er fire gode venner som skal lage middag sammen, men de har glemt å handle. De må derfor sende to av dem i butikken. Hvilke to de sender er et uordnet utvalg (fordi det ikke er noen forskjell på å sende Ibsen og Bjørnson eller å sende Bjørnson og Ibsen). Siden de må sende to ulike personer kan du se på dette som uten tilbakelegging.
Litt senere på kvelden er det blitt god stemning, så vennene tar frem Scrabble-spillet. Når spillet er ferdig vil én av dem ha vunnet, én kommet på andreplass, én på tredjeplass, og én på sisteplass. Denne rangeringen er et ordnet utvalg fordi rekkefølgen her har noe å si – man har mer lyst til å vinne enn til å tape. Det er også et utvalg uten tilbakelegging, fordi samme person ikke kan komme på første og på tredje plass.
