Geometriske rekker

Geometriske rekker er rekker der du må multiplisere med en bestemt kvotient k for å komme til neste leddet i rekken. De kan brukes til å modellere alt fra utviklingen av en bakteriekultur til lån og sparing. Det som er fint med geometriske rekker er at de er svært oversiktlige og at alle oppgavene kan løses ved hjelp av tre formler. Her kommer de:

Formel

Geometriske rekker

Å finne kvotienten i rekken:

k = an+1 an

Å finne det n-te leddet i rekken:

an = a1 kn1

Å finne summen av rekken:

Sn = a1kn 1 k 1  for k1

Dersom k = 1 bruker du denne formelen til å finne summen:

Sn = a1 n

Eksempel 1

Du har den geometriske rekken

3 + 9 + 27 + 81 +

Finn kvotienten, et uttrykk for det n-te leddet og summen av de første 10 leddene.

I oppgaver som dette kan du sette rett inn i formlene. Kvotienten blir dermed:

k = an+1 an = 9 3 = 3

Uttrykket for det n-te leddet blir:

an = a1 kn1 = 3 3n1 = 3n

Da får du at summen av de 10 første leddene blir

S10 = 3 310 1 3 1 = 88572

Eksempel 2

Finn a1 og k når du vet at a3 = 4 og a5 = 16 er to ledd i en voksende geometrisk rekke

Så lenge du blir gitt to ledd lønner det seg å løse oppgaven ved hjelp av to likninger med to ukjente. Du vet at formelen for et vilkårlig ledd i en geometrisk rekke er gitt ved an = a1 kn1. Dermed får du:

a3 = 4 a1 k31 = 4 a1 k2 = 4 a1 = 4 k2 a5 = 16 a1 k51 = 16 a1 k4 = 16,a 1 = 4 k2 ( 4 k2 ) k4 = 16 4k2 = 16| : 4 k2 = 4 k = ±4 = ±2 a1 = 4 (±2)2 = 1.

a3 = 4 a5 = 16 a1 k31 = 4 a 1 k51 = 16 a1 k2 = 4 a 1 k4 = 16 a1 = 4 k2 ( 4 k2 ) k4 = 16 4k2 = 16| : 4 k2 = 4 k = ±4 = ±2 a1 = 4 (±2)2 = 1.

Siden rekken er voksende så kan ikke k = 2 være riktig. Dette er en falsk løsning. Du har dermed at a1 = 1 og k = 2.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!