En uendelig geometrisk rekke har uendelig mange ledd,
Summen av rekken konvergerer mot et bestemt tall dersom kvotienten ligger mellom og 1. Da er summen:
Eksempel 1
Et legat opprettes av en pensjonert mangemillionær, som skal gi ut stipend på i året til flinke matematikkstudenter i all fremtid. Pengene settes på bankkonto som gir rente per år. Hvor mye penger må settes inn?
Nåverdiene av de årlige utbetalingene til matematikkstudentene danner den uendelig geometriske rekken under:
Her er og . Du vet at rekken konvergerer siden ligger mellom og 1.
Du må finne summen av en uendelig geometrisk rekke for å finne ut hvor mye som skal settes inn på bankkontoen:
Dermed må den ukjente mangemillionæren sette inn kr på bankkontoen.
Når kvotienten er en funksjon av , er konvergensområdet gitt ved: . Da kan du finne konvergensområdet enten ved å løse
eller ved å løse
De to fremgangsmåtene er likeverdige.
Regel
Når kvotienten er en funksjon av , er konvergensområdet gitt ved: . Da kan du finne konvergensområdet ved å løse
Eksempel 2
Alternativ 1: Løsing ved dobbel ulikhet
Du har en geometrisk rekke med kvotient . Finn konvergensområdet.
Du begynner med å sette opp ulikheten:
Siden dette er en absoluttverdi må du dele den i to likninger, løse dem separat og bruke fortegnslinjer for å finne intervallet du leter etter.
Tegn disse ulikhetene inn i et fortegnsskjema, én linje for hver ulikhet. Tolk så fortegnslinjene, der løsningen på ulikheten er området hvor begge ulikhetene er oppfylt. Området er der den uendelige geometriske rekken konvergerer.
Fra fortegnslinjene ser du at rekken konvergerer for .
Eksempel 3
Alternativ 2: Løsing ved enkel ulikhet
Du har en geometrisk rekke med kvotient . Finn konvergensområdet.
Du kan også velge å løse oppgaven ved å se på ulikheten
I dette tilfellet får du altså at
Nå bruker du konjugatsetningen til å faktorisere venstresiden:
Bruk nå fortegnslinjer til å finne svaret. Tegn fortegnslinjen til hver faktor og tolk fortegnsskjemaet:
Siden du ser etter området der vil svaret være intervallet med den stiplede linjen. Du ser dermed at rekken konvergerer for .