Skjæring mellom linje og plan

Skjæringen mellom en linje og et plan er enten ett punkt i planet eller uendelig mange punkter dersom linjen faktisk ligger i planet.

En linje som skjærer et plan i ett punkt

For å finne skjæringen mellom en linje og et plan kan du følge denne oppskriften:

Regel

Skjæring mellom linje og plan

1.
Sett parameterfremstillingen for linjen inn i likningen for planet.
2.
Du har nå fått et uttrykk med én variabel t.
3.
Løs likningen for t.
4.
Sett denne t-verdien tilbake i parameterfremstillingen for linjen og finn skjæringspunktet  (x,y,z).

Eksempel 1

Du vil finne skjæringspunktet mellom linjen

l: x (t) = 1 + t, y (t) = 2t, z (t) = 2 + t

l: x (t) = 1 + t,y (t) = 2t,z (t) = 2 + t

og planet

α: x 3y + 2z = 9

Punktene 1 til 3.

I denne oppgaven er det naturlig å gjøre disse tre skrittene sammen. Se gjennom eksempelet for å overbevise deg selv om det samme! Du setter parametriseringen for linjen inn i likningen for planet, og løser for t:

1 + t 3 (2t) + 2 (2 + t) = 9 1 + t 6t + 4 + 2t = 9 3t = 4 t = 4 3

Punkt 4.

Du setter nå dette tilbake i parametriseringen for linjen.

x ( 4 3 ) = 1 + 4 3 = 1 3 , y ( 4 3 ) = 2 ( 4 3 ) = 8 3 , z ( 4 3 ) = 2 + 4 3 = 2 3.

Skjæringspunktet er derfor

P = ( 1 3 , 8 3 , 2 3) .

Dersom du ikke klarer å finne en verdi for t ved hjelp av denne metoden, så kan det være fordi linjen enten ligger i planet eller parallelt med planet.

Om linjen ligger i planet, så vil du ende opp med en likning som ser ut som 0 = 0 eller liknende. Dette er fordi alle t-verdier vil gi deg et punkt i planet.

Om linjen ligger parallelt med planet, vil du ende opp med en likning som ser ut som 1 = 2 eller noe liknende. Dette er fordi ingen t-verdier vil gi deg et punkt i planet, så formelen vil aldri kunne løses.

Uansett må du sjekke om dette stemmer for å forsikre deg om at du ikke har gjort en regnefeil. Det kan du gjøre ved å sjekke om retningsvektoren til likningen er normal til normalvektoren til planet. Dersom de ikke er normale så må det finnes en løsning.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!