Skjæringslinjen mellom to plan

To plan som skjærer hverandre

Dersom du har to forskjellige plan vil de enten være parallelle eller skjære hverandre i en linje. Parameterfremstillingen for linjen finner du ved hjelp av et punkt på linjen og en retningsvektor. Retningsvektoren rl fremkommer ved at du krysser normalvektorene til planene:

α: ax + by + cz = 0 β : fx + gy + hz = 0

Denne oppskriften vil ta deg i mål:

Regel

Skjæringslinjen mellom to plan

1.
Finn retningsvektoren ved å regne ut kryssproduktet av nα og nβ, slik at rl = nα ×nβ. Dersom retningsvektoren blir [0, 0, 0] er det fordi de to planene er parallelle. Da vil de ikke ha en skjæringslinje og du slipper å gå videre.
2.
For å bestemme et punkt på linjen setter du en av koordinatene i begge planlikningene lik null og løser likningssettet som da er igjen. NB! Dersom du setter z = 0 og linjen står vinkelrett på z-aksen, kan det være at ingen punkter på linjen har z = 0. Dette gjelder for x-aksen og y-aksen også. Dersom dette skulle inntreffe velger du en av de andre variablene lik 0 og løser det nye likningssettet. Dersom dette heller ikke går, så prøver du å sette den siste variabelen lik 0.
3.
Sett nå punktet du fant og retningsvektoren inn i parameterfremstillingen for en linje.

Eksempel 1

Du har to plan

α: x + 2y 3z = 9 β: x y + 2z = 9

Finn skjæringslinjen mellom planene.

1.
Kryss normalvektorene for å finne retningsvektoren til skjæringslinjen: nα ×nβ = [1, 2, 3] × [ 1, 1, 2] = [4 3,3 2,1 2] = [1,5,3] .
2.
Sett z = 0 og løs likningssettet for å finne punktet P.
x + 2y = 9 x = 9 2y x y = 9 (9 2y) y = 9 3y = 0 y = 0 x = 9 2y x = 9

x + 2y = 9 x y = 9 x = 9 2y (9 2y) y = 9 3y = 0 y = 0 x = 9

Du vet allerede z = 0, så P = (9, 0, 0).

3.
Skjæringslinjen blir dermed
l: x (t) = 9 + t, y (t) = 5t, z (t) = 3t.

l: x (t) = 9 + t,y (t) = 5t,z (t) = 3t.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!