Третя алгебраїчна тотожність квадратних виразів

На додачу до першої та другої алгебраїчних тотожностей квадратних виразiв, є ще одна важлива алгебраїчна тотожнiсть — третя. У цiй статтi ти з’ясуєш, що таке третя алгебраїчна тотожнiсть.

За допомогою алгебраїчних тотожностей можна швидко розкривати дужки, розкладати на множники деякi типи виразiв, розв’язувати деякi типи рiвнянь i спрощувати деякi типи дробiв. У iнших статтях я докладнiше розглядаю всi цi сфери застосування, але зараз зосередьмося на третiй алгебраїчнiй тотожностi.

Третя алгебраїчна тотожнiсть складається з виразу по лiвий бiк, знаку рiвностi та виразу по правий бiк. Це означає, що вираз по лiвий бiк можна перетворити на вираз по правий бiк i навпаки. Але спершу з’ясуймо, чому обидва боки рiвнi:

$$\begin{array}{llll}\hfill (a-b)(a+b)& =a^2+ab-ba-b^2& \hfill & \\ \hfill & =a^2-b^2& \hfill & \end{array}$$

У першому прикладi переписуємо вираз по лiвий бiк так, щоб перетворити його на вираз по правий бiк.

Зауваж, що середнiй доданок зникає, тому що дужки мають рiзнi знаки перед останнiм доданком. А що станеться, якщо зробити все навпаки — вираз по правий бiк формули перетворити на вираз по лiвий бiк? Можемо застосувати третю алгебраїчну тотожнiсть, щоб перетворити вираз, який складається з доданкiв, на задачу на множення. Фактично можна застосувати третю алгебраїчну тотожнiсть, щоб розкладати квадратнi вирази на множники.

Третя алгебраїчна тотожнiсть дуже часто зустрiчається, тому потрiбно добре її вивчити.