Формула виділення квадрата

Видiлення квадрата означає додавання двох додаткових доданкiв, що дає змогу записати квадратний вираз у iнший спосiб. Це допомагає зробити вираз простiшим i легшим для аналiзу. Запам’ятати цей метод можна так:

Правило

Пам’ятка з видiлення квадрата

1.
Роздiли навпiл
2.
Пiднеси до квадрата
3.
Додай
4.
Вiднiми

Зверни увагу! Якщо ми додаємо i вiднiмаємо те саме число, то насправдi не змiнюємо значення виразу!

Квадратний вираз має форму

ax2 + bx + c

Ми пiдносимо вираз iз x до квадрата i записуємо вираз так:

a(x x0)2 + d,

а отже,

ax2 + bx + c = a(x x 0)2 + d.

Якщо d = 0, вираз є повним квадратом, тобто виразом, у якому можна використати першу або другу алгебраїчну тотожнiсть квадратних виразiв. Отже, ми використовуємо цi алгебраїчнi тотожностi, але у зворотному порядку. Далi описано, як це робиться, разом iз остаточною формулою:

Правило

Видiлення квадрата

Дано вираз у виглядi ax2 + bx + c. Потрiбно видiлити квадрат. a a(x2 + b ax + c a). a = 1. Спочатку треба винести за дужки коефiцiєнт a та записати вираз у виглядi a(x2 + b ax + c a). Цей крок можна пропустити, якщо a = 1.

Роздiли навпiл:

b a — це число, що стоїть перед доданком x усерединi дужок. Дiлимо це число на 2. Отримуємо b 2a.

Пiднеси до квадрата:

b 2a потрiбно пiднести до квадрата. Отримуємо ( b 2a ) 2.

Додай:

Беремо вираз ( b 2a ) 2 i додаємо його пiсля b ax.

Вiднiми:

Беремо той самий вираз, ( b 2a ) 2, i вiднiмаємо його пiсля + ( b 2a ) 2.

Весь вираз має такий вигляд:

= a (x2 + b ax + ( b 2a)2 ( b 2a)2 + c a) = a(x x0)2 + d.

a (x2 + b ax + ( b 2a)2 ( b 2a)2 + c a) = a(x x0)2 + d.

Зверни увагу! У формулi a(x x0)2 + d — це x0 = b 2a, а d = b2 4a + c.

Приклад 1

Видiли квадрат x2 + 4x + 3 i запиши у виглядi a(x x0)2 + d

= x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + (4 2) 2 (4 2) 2 + 3 = x2 + 4x + 22 22 + 3 = (x + 2)2 4 + 3 = (x + 2)2 1

x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + (4 2) 2 (4 2) 2 + 3 = x2 + 4x + 22 22 + 3 = (x + 2)2 4 + 3 = (x + 2)2 1

Приклад 2

Доведи, що вираз x2 12x + 36 — це повний квадрат

= x2 12x + 36 = x2 12x + ( 12 2 ) 2 ( 12 2 ) 2 + 36 = x2 12x + 62 62 + 36 = (x 6)2 36 + 36 = (x 6)2

x2 12x + 36 = x2 12x + ( 12 2 ) 2 ( 12 2 ) 2 + 36 = x2 12x + 62 62 + 36 = (x 6)2 36 + 36 = (x 6)2

Оскiльки d = 0, вираз x2 12x + 36 є повним квадратом.

Приклад 3

Знайди мiнiмум i максимум функцiї f(x) = x2 3x + 12, видiливши квадрат

f(x) = x2 3x + ( 3 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 + 12 = (x 3 2) 2 ( 3 2 ) 2 + 12 = (x 3 2) 2 9 4 + 12 = (x 3 2) 2 9 4 + 48 4 = (x 3 2) 2 9 + 48 4 = (x 3 2) 2 57 4

f(x) = x2 3x + ( 3 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 + 12 = (x 3 2) 2 ( 3 2 ) 2 + 12 = (x 3 2) 2 9 4 + 12 = (x 3 2) 2 9 4 + 48 4 = (x 3 2) 2 9 + 48 4 = (x 3 2) 2 57 4

Оскiльки a > 0, то ми знаємо, що ця функцiя має мiнiмум. Тодi значення x стає x 3 2 = 0, тобто x = 3 2. Значення y стає d = 57 4 . Тодi мiнiмум функцiї має такi координати: (3 2,57 4 ).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!