Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як спрощувати раціональні вирази?

Для спрощення рацiонального виразу часто застосовується дiлення на многочлен. У цьому випадку розв’язок дiлення на многочлен i буде спрощеним виразом, який потрiбно знайти. Є два важливих випадки:

1.
Випадок, коли дiлення на многочлен має розв’язок i вираз можна спростити.
2.
Випадок, коли дiлення на многочлен не має розв’язку i спростити вираз неможливо.

Правило

Спрощення рацiональних виразiв

Методи розкладання рацiональних виразiв на множники:

1.
Розкладаємо чисельник i знаменник на множники i скорочуємо спiльнi множники.

Цей метод стане в пригодi, якщо чисельник має той самий або нижчий степiнь, нiж знаменник.

2.
Виконуємо дiлення на многочлен, розв’язок якого i буде спрощеним виразом.

Цей метод стане в пригодi, якщо степiнь чисельника вищий за степiнь знаменника.

Нижче наведено приклади спрощення.

Вираз можна спростити

Якщо степiнь чисельника вищий за степiнь знаменника, застосовуємо дiлення на многочлен. Якщо дiлення дає розв’язок без остачi, це означає, що ми спростили вираз. Результатом дiлення буде спрощений вираз. Якщо дiлення на многочлен не дає розв’язку, вираз не можна спростити.

Якщо степiнь чисельника нижчий за степiнь знаменника, спробуємо розкласти чисельник i знаменник на множники. Для цього визначаємо нулi квадратного рiвняння i перевiряємо, чи є вони нулями для iншого многочлена.

Приклад 1

Спрости вираз x3 + 2x2 − 5x − 6 x − 2

Як бачимо, степiнь чисельника вищий, нiж степiнь знаменника. Це означає, що потрiбно виконати дiлення на многочлен:

Дiлення на многочлен x̂3+2x̂2-5x-6, подiлений на x-2

Вираз дiлиться без остачi, а спрощений вираз має вигляд

x3 + 2x2 − 5x − 6 x − 2 = x2 + 4x + 3.

Приклад 2

Запиши вираз

x2 + x − 6 x3 − 2x2 − x + 2

у максимально спрощеному виглядi

Степiнь чисельника нижчий, нiж степiнь знаменника, а отже, намагаємось розкласти чисельник i знаменник на множники самотужки.

Почнемо з чисельника, який являє собою квадратне рiвняння. Шляхом перевiрки або за допомогою квадратної формули знаходимо нулi: x = −3 i x = 2, що означає, що вираз можна розкласти на множники (x + 3) (x − 2).

Далi потрiбно розкласти на множники кубiчний вираз у знаменнику. Тепер перевiряємо, чи будь-який з нулiв, знайдених для чисельника, також є нулем знаменника.

Спершу перевiряємо x = −3:

= (−3) 3 − 2 (−3) 2 −(−3) + 2 = −27 − 18 + 3 + 2 = −40 ≠0.

(−3) 3 − 2 (−3) 2 −(−3) + 2 = −27 − 18 + 3 + 2 = −40 ≠0.

x = −3 не є нулем знаменника.

Тепер перевiряємо x = 2:

(2) 3 − 2 (2) 2 −(2) + 2 = 8 − 8 − 2 + 2 = 0

x = 2 є нулем знаменника, а отже, одним з його множникiв є (x − 2). Застосуймо це для дiлення на многочлен (x3 − 2x2 − x + 2) : (x − 2):

Дiлення на многочлен x̂3-2x̂2-x+2, подiлений на x-2

Як бачимо,

= (x3 − 2x2 − x + 2) = (x − 2) (x2 − 1) = (x − 2) (x − 1) (x + 1) .

(x3 − 2x2 − x + 2) = (x − 2) (x2 − 1) = (x − 2) (x − 1) (x + 1) .

Вираз, розкладений на множники, має такий вигляд:

x2 + x − 6 x3 − 2x2 − x + 2 = (x + 3) (x − 2) (x − 1) (x − 2) (x + 1) = x + 3 (x − 1) (x + 1) .

Приклад 3

Спрости вираз x2 + x − 6 x3 − x2 − 2x

x2 + x − 6 x3 − x2 − 2x = (x − 2) (x + 3) x (x2 − x − 2) = (x − 2) (x + 3) x(x − 2) (x + 1) = x + 3 x (x + 1)

Вираз не можна спростити

Теорiя

Чому наявнiсть остачi унеможливлює спрощення

Щоб спростити рацiональний вираз, потрiбно мати спiльний множник у чисельнику та знаменнику. Якщо дiлення не має розв’язку, чисельник i знаменник не мають спiльних множникiв, а отже, немає спiльних множникiв, якi можна скоротити!

Приклад 4

Спрости вираз 4x2 + x + 6 x − 2

Якщо чисельник має вищий степiнь, нiж знаменник, спершу дiлимо на многочлен:

Дiлення на многочлен 4x̂2+x+6, подiленого на x-2

Отримуємо остачу 24, а отже, вираз неможливо спростити.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як розкласти на множники многочлени 3-го і 4-го степеня
Повернутися