Як працюють арифметичні послідовності?

Послiдовнiсть — це впорядкована множина чисел. Їх можна записати у виглядi списку чисел, роздiлених комами, або зобразити у виглядi фiгур. Послiдовностi бувають двох типiв:

1.
Послiдовностi, що збiльшуються на постiйне число.
2.
Послiдовностi, що не збiльшуються на постiйне число.

Послiдовностi, що збiльшуються на постiйне число, мають власну круту назву: арифметичнi послiдовностi. Щойно ти збагнеш, що вiдбувається, то навчишся знаходити вираз для будь-якого члена в арифметичнiй послiдовностi. Послiдовнiсть

4, 7, 10, 13

є арифметичною, адже кожен її член збiльшується на 3. У послiдовностi

1, 3, 6, 10, 15, 21,

члени не збiльшуються на те саме число, а отже, ця послiдовнiсть не є арифметичною. Вона вiдповiдає шаблону, але її члени не збiльшуються щоразу на те саме число.

Якщо ти знаєш, що послiдовнiсть є арифметичною, то можеш скласти вираз за наведеною далi схемою. Ми часто говоримо, що можемо знайти вираз fn для n-го числа в послiдовностi. Це означає, що потрiбно скласти вираз, який допоможе знайти наступне число в послiдовностi.

Правило

Складання виразу для арифметичної послiдовностi

1.
З’ясуй, на скiльки збiльшується послiдовнiсть. Це спiльна рiзниця для послiдовностi, яку ми називаємо d.
2.
Знайди перше число в послiдовностi — f1. Потiм вiднiми рiзницю вiд першого числа, щоб знайти постiйний член b: f1 d = b.
3.
Запиши вираз у виглядi fn = dn + b.

Застосуймо цю схему для наведеної вище послiдовностi.

Приклад 1

Числа

4,7,10,13,

взятi з рисунка:

Послiдовнiсть чисел 4, 7, 10 i 13

Склади вираз для знаходження fn

Використовуємо схему вище, адже бачимо, що послiдовнiсть постiйно збiльшується на те саме число.

1.
Визначаємо, що послiдовнiсть щоразу збiльшується на 7 4 = 3. Отже, спiльна рiзниця — 3.
2.
Беремо перше число послiдовностi, 4, i вiднiмаємо вiд нього рiзницю, щоб знайти постiйний член. b = 4 3 = 1.
3.
Отже, вираз для цiєї послiдовностi матиме вигляд fn = 3n + 1.

Цей вираз має працювати так, щоб пiдставивши 1 замiсть n, ми отримали 4, оскiльки 4 — це перше число в послiдовностi. Пiдставивши n = 2, ми маємо отримати 7, адже 7 — це друге число в послiдовностi. Можна перевiрити вираз для чисел 3 i 4:

f3 = 3 3 + 1 = 9 + 1 = 10 f4 = 3 4 + 1 = 12 + 1 = 13

Як бачиш, вираз працює як задумано, i його можна використовувати, щоб знайти набагато бiльшi числа в послiдовностi — наприклад, число для n = 100:

f100 = 3 100 + 1 = 301.

Приклад 2

Знайди вираз для послiдовностi:

100, 95, 90, 85, 80,

Послiдовнiсть чисел 100, 95, 90 i 85

Замiсть того щоб збiльшуватися, ця послiдовнiсть зиеншується, а отже, спiльна рiзниця є вiд’ємним числом, а не додатним. Можемо перевiрити всi рiзницi:

100 95 = 595 90 = 5 90 85 = 585 80 = 5

Оскiльки кожен наступний член зменшується на 5, рiзниця дорiвнює 5, i послiдовнiсть є арифметичною. Перший член — це 100. Щоб знайти постiйний член, вiднiмаємо вiд першого члена рiзницю. Будьмо уважними, оскiльки рiзниця — вiд’ємне число!

100 (5) = 100 + 5 = 105.

Отже, постiйний член b = 105, а вираз має вигляд

fn = 5n + 105

або

fn = 105 5n.

Перевiряємо його для кiлькох чисел:

Член 2:

f2 = 105 5 2 = 105 10 = 95.

Член 3:

f3 = 105 5 3 = 105 15 = 90.

Можеш знайти член 7? Просто пiдстав n = 7 — i отримаєш

f(7) = 105 5 7 = 70.
Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!