Що таке арифметичний ряд?

Арифметичний ряд — це ряд, у якому для отримання наступного члена ряду потрiбно додати певну рiзницю $d$ до попереднього члена. Арифметичнi ряди досить простi для розумiння. Усi завдання на арифметичнi ряди можна розв’язати за допомогою трьох формул:

Формула

Арифметичний ряд

Знаходження рiзницi мiж членами ряду:

d = a_{n + 1} - a_{n}

Знаходження $n$ -го члена ряду:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Знаходження суми:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Приклад 1

Дано арифметичний ряд

2 + 4 + 6 + 8 + \dots

Знайди рiзницю, формулу знаходження $n$ -го члена i суму перших 50 членiв.

Щоб розв’язати це завдання, скористайся формулами арифметичних рядiв. Щоб знайти рiзницю, вiднiми одне вiд одного два послiдовних числа з ряду. Отримаєш:

d = a_{n + 1} - a_{n} = 4 - 2 = 2 .

Формула знаходження $n$ -го члена:

\begin{array}{l} a_{n} & = a_{1} + (n - 1) d \\ = 2 + (n - 1) \cdot 2 \\ = 2 + 2 n - 2 \\ = 2 n . \end{array}

Нарештi, щоб знайти суму перших 50 членiв ряду, знайди $a_{50}$ . Для цього застосуй формулу знаходження $n$ -го члена, де $n = 50$ . Отримаєш:

\begin{array}{l} a_{50} & = 2 + (50 - 1) \cdot 2 \\ = 2 + 49 \cdot 2 \\ = 100 . \end{array}

a_{50} = 2 + (50 - 1) \cdot 2 = 2 + 49 \cdot 2 = 100 .

Тепер можеш знайти суму перших 50 членiв:

S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550 .

Приклад 2

Вiдомо, що третє число в арифметичному рядi — 7, а шосте число — 12. Знайди рiзницю $d$ i перший член $a_{1}$ .

Це класичний випадок, коли потрiбно розв’язати завдання за допомогою системи рiвнянь. Ми знаємо, що формула знаходження

n

-го члена арифметичного ряду має вигляд

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

. Якщо пiдставити у формулу iнформацiю, надану в завданнi, побачимо, що

a_{3} = 7

, а

a_{6} = 12

. Отже, можемо використовувати це як вiдправну точку для двох наших рiвнянь.

По-перше, $a_{3} = 7$ дає

\begin{align} a_{1} + (3 - 1) d & = 7, \\ a_{1} + 2 d & = 7, \\ a_{1} & = 7 - 2 d . & (1) \end{align}

По-друге, $a_{6} = 12$ дає

\begin{array}{l} a_{1} + (6 - 1) d & = 12, \\ a_{1} + 5 d & = 12 . \end{array}

Пiдставивши значення $a_{1}$ з Формула (1), отримуємо

\begin{array}{l} (7 - 2 d) + 5 d & = 12, \\ 3 d & = 5 | : 3, \\ d & = \frac{5}{3} . \end{array}

Нарештi, пiдставляємо значення d з Формула (1) i отримуємо:

a_{1} = 7 - 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{21}{3} - \frac{10}{3} = \frac{11}{3} .

Вiдповiдь: $a_{1} = \frac{11}{3}$ i $d = \frac{5}{3}$ .

Приклад 3

Стартова цiна передплати на користування телефонним зв’язком становить $$ 3$ , а вартiсть однiєї хвилини розмови становить $$ 2$ . $a_{n}$ — це вартiсть розмови тривалiстю $n$ хвилин. Знайди арифметичний ряд вартостi передплати. Якою є рiзниця $d$ ? Знайди формулу для знаходження суми ряду.

Вартiсть розмови тривалiстю 1 хвилина становить $3 + 2 \cdot 1 = 5 $$ , вартiсть розмови тривалiстю 2 хвилини становить $3 + 2 \cdot 2 = 7 $$ , а вартiсть розмови тривалiстю 3 хвилини становить $3 + 2 \cdot 3 = 9 $$ . Загалом за розмову тривалiстю $n$ хвилин доведеться заплатити

3 + 2 \cdot $ n .

Можемо обчислити це як арифметичний ряд, де вартiсть хвилини — це член $a_{1}$ , вартiсть 2 хвилин — член $a_{2}$ , вартiсть 3 хвилин — член $a_{3}$ , а вартiсть $n$ хвилин — член $a_{n}$ . Отримуємо такий арифметичний ряд:

5 + 7 + 9 + \dots + (3 + 2 \cdot n)

Як бачимо, кожен член збiльшується на 2, тож рiзниця $d = 2$ (вартiсть хвилини).

Щоб знайти формулу суми послiдовностi, потрiбно пiдставити значення членiв у формулу арифметичного ряду. Отримуємо:

\begin{array}{l} S_{n} & = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n \\ = \frac{5 + (3 + 2 \cdot n)}{2} \cdot n \\ = \frac{8 + 2 n}{2} \cdot n \\ = \frac{2 (4 n + n^{2})}{2} \\ = 4 n + n^{2} \end{array}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке ряд у математиці?

Наступна стаття

Як обчислювати амортизаційні кредити за допомогою формул рядів

Повернутися