Що таке ряд у математиці?

Ряд — це потужний iнструмент, зокрема, в галузi фiнансiв. Банки використовують ряди для розрахунку кредитiв, заощаджень, iнвестицiй та вартостi грошових потокiв. Зрозумiвши основнi принципи побудови ряду, ти отримаєш глибше розумiння внутрiшнiх механiзмiв фiнансiв.

Теорiя

Ряд

Ряд — це послiдовнiсть чисел, у якiй замiсть коми використовується плюс або мiнус. Типовий ряд має такий вигляд:

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} + \dots

$n$ тут — це номер члена ряду, а $a_{n}$ — фактичне число, яким є цей член.

Коли ми обчислюємо суму дуже довгого ряду, виписувати весь ряд може бути досить втомливо. Математики знайшли значно простiший спосiб, ввiвши грецьку лiтеру сигма: $\sum$ . Суму ряду можна записати так:

Теорiя

Знак суми $\sum$

Суму перших $n$ членiв числового ряду можна записати так:

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

$S_{n}$ — це сума $n$ членiв. $i = 1$ вказує, що ми рахуємо починаючи з члена 1, $n$ вказує, до якого члена ми рахуємо, а $a_{i}$ — це формула, яка описує член $i$ .

Ряд не обов’язково є скiнченним. Бувають i нескiнченнi ряди. Пiд час роботи з нескiнченними рядами найчастiше виникає запитання: що вiдбувається з сумою ряду? Чи стануть члени ряду настiльки малими, що зрештою, скiльки б членiв ми не додали, сума все одно перетвориться на конкретне число, а чи вони стануть настiльки великими, що їх сума буде нескiнченно великою? З погляду математики цi два випадки називаються збiжнiстю та розбiжнiстю, вiдповiдно:

Теорiя

Збiжнiсть i розбiжнiсть

Збiжнiсть:: сума ряду наближається до конкретного числа, коли $n \to \infty$ .
Розбiжнiсть:: сума ряду не наближається до конкретного числа, зазвичай через те, що вона наближається до $\pm \infty$ , коли $n \to \infty$ .

Приклад 1

Дано ряд, у якому
$\begin{array}{l} a_{1} & = 3, a_{2} = 6, a_{3} = 9, \\ \dots, a_{n} = 3 n, \dots \end{array}$

$a_{1} = 3, a_{2} = 6, a_{3} = 9, \dots, a_{n} = 3 n, \dots$

Знайди суму перших десяти членiв. З’ясуй, що вiдбувається iз сумою, коли $n \to \infty$ .

Щоб знайти суму перших десяти членiв, використовуємо знак суми

\sum

n = 10

a_{i} = 3 i

. Отримуємо

\begin{array}{l} S_{10} & = \sum_{i = 1}^{10} 3 i \\ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \\ + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 3 \cdot 7 \\ + 3 \cdot 8 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 10 \\ = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 \\ + 21 + 24 + 27 + 30 \\ = 165 . \end{array}

\begin{array}{l} S_{10} & = \sum_{i = 1}^{10} 3 i \\ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 \\ + 3 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + 3 \cdot 8 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 10 \\ = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 \\ = 165 . \end{array}

Щоб з’ясувати, що вiдбувається iз сумою, коли

n \to \infty

, варто перевiрити формулу для членiв ряду. У цьому разi

a_{n} = 3 n

. Цi члени є величинами, кратними

3

, якi ставатимуть дедалi бiльшими, завдяки чому сума також постiйно зростатиме. Можемо дiйти висновку, що коли

n \to \infty

, сума просто зростатиме дедалi бiльше i врештi вийде за будь-якi межi. А отже, сума цього ряду є розбiжною.

Приклад 2

Дано ряд, у якому

$\begin{array}{l} a_{1} & = \frac{1}{2} a_{2} = \frac{1}{4} a_{3} = \frac{1}{8} \\ \dots a_{n} = \frac{1}{2^{n}} \dots \end{array}$

$a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{4}, a_{3} = \frac{1}{8}, \dots, a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, \dots$

Знайди суму перших п’яти членiв. З’ясуй, що вiдбувається iз сумою, коли $n \to \infty$ .

Щоб знайти суму перших п’яти членiв, використовуємо знак суми

\sum

n = 5

a_{i} = \frac{1}{2^{i}}

. Отримуємо

\begin{array}{l} S_{5} & = \sum_{i = 1}^{5} \frac{1}{2^{i}} \\ = \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}} \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \\ = \frac{1 \cdot 16}{2 \cdot 16} + \frac{1 \cdot 8}{4 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32} \\ = \frac{16 + 8 + 4 + 2 + 1}{32} \\ = \frac{31}{32} . \end{array}

Щоб з’ясувати, що вiдбувається iз сумою, коли $n \to \infty$ , варто перевiрити формулу для членiв ряду. У цьому разi $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ . Цi члени стають дедалi меншими, що далi в ряду ми просуваємося. Той факт, що члени стають дедалi меншими, не обов’язково означає, що сума ряду є збiжною, але означає, що iснує ймовiрнiсть того, що сума ряду буде збiжною. Дiзнайся, як визначити, чи є ряд збiжним, переглянувши статтю про геометричнi ряди. У цьому випадку можна сказати, що ряд зменшується досить швидко, щоб сума ряду збiглася до числа, яке дорiвнює 1. З цього можна зробити висновок, що коли $n \to \infty$ , сума ряду є збiжною. Математично це матиме такий вигляд:

S = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} = 1 .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Що таке арифметичний ряд?

Повернутися

Ряд

Знак суми ∑ ⁡

Збiжнiсть i розбiжнiсть

Знак суми $\sum$