Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як параметризувати пряму

Двi прямi, що перетинаються в системi координат

Параметризацiя — це один зi способiв опису прямих i кривих у площинi. Звичайнi координати просто виражаються числами, що вiдповiдають координатам x та y. Коли ми параметризуємо лiнiю, то знаходимо параметричне рiвняння, яке виражає координати як функцiї нових змiнних, як-от s, t i так далi.

Параметризацiю доцiльно використовувати насамперед через те, що завдяки їй значно легше визначити, чи знаходяться два об’єкти в одному мiсцi одночасно. Чому це важливо? Уяви, що летиш у лiтаку. Не зайвим буде знати, чи знаходяться два лiтаки в одному мiсцi одночасно, бо якщо так, то станеться катастрофа!

Теорiя

Параметризацiя прямої

Дано точку (x0,y0) на прямiй, вектор r→ = (a,b) уздовж прямої та змiнну t. Параметричне рiвняння прямої має такий вигляд:

Векторна форма:

(x,y) = (x0,y0) + t (a,b)

Координатна форма:

x (t) = x0 + at ∧y (t) = y0 + bt

x (t) = x0 + at ∧y (t) = y0 + bt

Як бачимо, обидва способи вираження параметричного рiвняння тiсно пов’язанi. Якщо скласти рiвняння з усiма координатами x векторної форми та рiвняння з усiма координатами y векторної форми, отримаємо параметричне рiвняння у координатнiй формi.

Приклад 1

Дано параметричнi рiвняння

l : x (t) = 1 + t ∧y (t) = 2 − 2t m : x (s) = −3 + s ∧y (s) = −5 + 2s,

l : x (t) = 1 + t ∧y (t) = 2 − 2t m : x (s) = −3 + s ∧y (s) = −5 + 2s.

Знайди точку перетину прямих l i m.

Щоб знайти точку перетину, складаємо систему рiвнянь, де координата x прямої l дорiвнює координатi x прямої m, а координата y прямої l дорiвнює координатi y прямої m:

1 + t = −3 + s t = −4 + s 2 − 2t = −5 + 2s ⇓ − 2 (−4 + s) = −5 + 2s 8 − 2s = −5 + 2s 13 = 4s s = 13 4 t = −4 + s ⇓ t = −4 + 13 4 t = −3 4

1 + t = −3 + s 2 − 2t = −5 + 2s t = −4 + s − 2 (−4 + s) = −5 + 2s 8 − 2s = −5 + 2s 13 = 4s s = 13 4 t = −4 + 13 4 t = −3 4

Щоб знайти перетин, пiдставляємо знайденi значення s або t в одне з параметричних рiвнянь:

x ( − 3 4 ) = 1 + − 3 4 = 1 4 y ( − 3 4 ) = 2 − 2 ⋅− 3 4 = 7 2

Це означає, що прямi l i m перетинаються в точцi (1 4, 7 2 ).

Зверни увагу! Якщо пiдставимо s в iнше параметричне рiвняння, то отримаємо ту саму точку. Якщо маєш час, завжди доцiльно виконати цю перевiрку, щоб переконатися у вiдсутностi помилок.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як знайти медіани трикутника за допомогою векторів
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як розв'язувати векторні рівняння
Повернутися