Як знайти медіани трикутника за допомогою векторів

Трикутник iз трьома медiанами вiд вершин трикутника до середини його протилежних сторiн, що перетинаються в однiй точцi

Згiдно з теоремою про медiани, якщо накреслити три вiдрiзки починаючи вiд вершин трикутника до середини його протилежних сторiн, цi вiдрiзки перетинатимуться в однiй точцi, яка дiлить їх у вiдношеннi 2 : 1. Це означає, що точка перетину знаходиться на двох третинах вiдстанi вiд вершини до середини протилежної сторони трикутника.

Приклад 1

Точки A = (2,4), B = (3,5) i C = (1, 6) утворюють трикутник. Знайди точку P, в якiй перетинаються медiани трикутника.

Можемо скористатися знаннями про теорему медiан або ж виконати всю брудну роботу самостiйно. У будь-якому випадку потрiбно знайти середини сторiн K, L i M, а також вектори

AB = (5,1) ,AC = (3, 10) ,BC = (2, 11) .

AB = (5,1) ,AC = (3, 10) ,BC = (2, 11) .

Отримуємо

OK = OA + 1 2AC = (2,4) + 1 2 (3, 10) = (1 2, 1) K = (1 2, 1) , OL = OB + 1 2BC = (3,5) + 1 2 (2, 11) = (2, 1 2) L = (2, 1 2) , OM = OA + 1 2AB = (2,4) + 1 2 (5,1) = (1 2, 9 2 ) M = (1 2,9 2) .

Це, своєю чергою, дає

AL = (4, 9 2) , CM = ( 1 2 , 21 2 ) , BK = ( 7 2 , 6) .

AL = (4, 9 2) ,CM = ( 1 2 , 21 2 ) ,BK = ( 7 2 , 6) .

Точка перетину P має двi координати (x i y), тому потрiбно скласти два рiвняння, щоб знайти набiр координат. Для цього складаємо два вирази, використовуючи двi рiзних суми векторiв, якi дають P. Далi розв’язуємо систему рiвнянь, щоб знайти двi координати P.

P = (x,y) = OC + tCM = (1, 6) + t ( 1 2 , 21 2 ) P = (x,y) = OB + sBK = (3,5) + s ( 7 2 , 6)

P = (x,y) = OC + tCM = (1, 6) + t ( 1 2 , 21 2 ) P = (x,y) = OB + sBK = (3,5) + s ( 7 2 , 6)

Розв’язуємо систему рiвнянь:

1 t 2 = 3 7 2s t 2 = 2 7 2s t = 4 + 7s 6 21 2 t = 5 + 6s 12 21t = 10 + 12s 12 21(4 + 7s) = 10 + 12s 12 + 84 147s = 10 + 12s 106 = 159s s = 106 159 = 2 3 t = 4 + 7s t = 4 + 72 3 t = 12 3 + 14 3 t = 2 3

1 t 2 = 3 7 2s 6 21 2 t = 5 + 6s t 2 = 2 7 2s 12 21t = 10 + 12s t = 4 + 7s 12 21(4 + 7s) = 10 + 12s 12 + 84 147s = 10 + 12s 106 = 159s s = 106 159 = 2 3 t = 4 + 72 3 t = 12 3 + 14 3 t = 2 3

Те, що t = s = 2 3, лише пiдтверджує теорему про медiану: медiани перетинаються на 2 3 вiдстанi вiд вершин до середини протилежних сторiн трикутника. Нарештi, пiдставляємо значення t або s у один з виразiв, складених для P, i знаходимо координати точки:

P = (x,y) = (1, 6) 2 3 (2, 21) = (1, 6) (4 3, 14) = ( 1 3 ,8) .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!