Параметризація площини

Площина в тривимiрнiй системi координат

Площину можна виразити за допомогою параметризацiї або у виглядi рiвняння. Рiвняння площини, яка проходить через точку $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , з вектором нормалi $\vec{n} = (a, b, c)$ має вигляд:

Формула

Рiвняння площини

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

Розв’язавши це рiвняння, записуємо його так:

\begin{array}{l} a x + b y + c z + d = 0, \\ d = - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0} \end{array}

a x + b y + c z + d = 0, d = - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0}

Як бачимо, якщо в нас є рiвняння площини, то вектор нормалi можна знайти, використовуючи числа перед

x

y

z

Параметричне рiвняння площини можна знайти за допомогою двох векторiв i точки. За умови, що площина натягнута на

\vec{u} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})

\vec{v} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})

, а

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

є точкою на площинi, параметричне рiвняння матиме такий вигляд:

Теорiя

Параметричне рiвняння площини

\begin{array}{l} x & = x_{0} + a_{1} s + a_{2} t \\ y & = y_{0} + b_{1} s + b_{2} t \\ z & = z_{0} + c_{1} s + c_{2} t \end{array}

Ми можемо знайти як рiвняння, так i параметричне рiвняння площини, якщо знаємо три точки на площинi. За трьома точками ( $A$ , $B$ i $C$ ) можна знайти $\vec{A B}$ i $\vec{A C}$ , за якими можна знайти параметричне рiвняння для площини. Крiм того, можна скористатися векторним добутком цих векторiв, щоб знайти вектор нормалi до площини, за якою потiм можна знайти рiвняння площини.

Правило

Рiвняння для площини $x y$ має вигляд $z = 0$

Рiвняння для площини $x z$ має вигляд $y = 0$

Рiвняння для площини $y z$ має вигляд $x = 0$

Приклад 1

Якщо рiвняння площини має вигляд $2 x + y - 3 z + 8 = 0$ , знаходимо вектор нормалi за допомогою чисел перед змiнними. Отримуємо $\vec{n} = (2, 1, - 3)$ .

Приклад 2

Точки $A = (2, 0, 1)$ , $B = (3, 1, 2)$ i $C = (0, 0, 4)$ лежать на площинi $α$ . Опиши площину за допомогою рiвняння та параметричного рiвняння.

Спочатку знаходимо вектори $\vec{A B}$ i $\vec{A C}$ : $\begin{array}{l} \vec{A B} & = (3 - 2, 1 - 0, 2 - 1) = (1, 1, 1), \\ \vec{A C} & = (0 - 2, 0 - 0, 4 - 1) = (- 2, 0, 3) \end{array}$

Щоб знайти параметричне рiвняння, пiдставляємо точку $A$ i вектори $\vec{A B}$ i $\vec{A C}$ у формулу:

x = 2 + s - 2 t \land y = s \land z = 1 + s + 3 t

x = 2 + s - 2 t \land y = s \land z = 1 + s + 3 t

Щоб знайти рiвняння площини, знаходимо векторний добуток векторiв

\vec{A B}

\vec{A C}

i отримуємо вектор нормалi

\vec{n}

\begin{array}{l} \vec{n} & = \vec{A B} \times \vec{A C} = (1, 1, 1) \times (- 2, 0, 3) \\ = (1 \cdot 3 - 1 \cdot 0, 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 3, \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 2)) \\ = (3, - 5, 2) \end{array}

\begin{array}{l} \vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} & = (1, 1, 1) \times (- 2, 0, 3) \\ = (1 \cdot 3 - 1 \cdot 0, 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 3, 1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 2)) \\ = (3, - 5, 2) \end{array}

Далi просто пiдставляємо

\vec{n}

A

в загальне рiвняння площини:

\begin{array}{l} 3 (x - 2) - 5 (y - 0) + 2 (z - 1) & = 0 \\ 3 x - 6 - 5 y + 2 z - 2 & = 0 \\ 3 x - 5 y + 2 z & = 8 . \end{array}

Приклад 3

Точка $P = (4, - 4, 4)$ лежить на площинi з вектором нормалi $\vec{n} = (6, 1, 1)$ . Знайди рiвняння й параметричне рiвняння для площини.

Спершу знаходимо рiвняння площини. Ми вже маємо всi потрiбнi значення, тож просто пiдставляємо координати точки та значення вектора нормалi в загальне рiвняння площини:

\begin{array}{l} a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) & = 0 \\ 6 (x - 4) + 1 (- y - (- 4)) + 1 (z - 4) & = 0 \\ 6 x - 24 - y + 4 + z - 4 & = 0 \\ 6 x - y + z - 24 = 0 \end{array}

За допомогою рiвняння площини знаходимо ще двi точки на площинi. Якщо задати двi координати рiвними $0$ , то швидко знайдемо третю координату. Наприклад, задамо $x = y = 0$ , щоб знайти $z$ : $\begin{array}{l} 6 \cdot 0 - 0 + z - 24 & = 0 \\ z & = 24 . \end{array}$

Це означає, що $A = (0, 0, 24)$ є точкою на площинi. Виконуємо тi самi дiї для $x = z = 0$ i знаходимо $y$ : $\begin{array}{l} 6 \cdot 0 - y + 0 - 24 & = 0 \\ y & = - 24 . \end{array}$

Тодi $B = (0, - 24, 0)$ також є точкою на площинi. Тепер маємо три точки на площинi, якi можна використати для створення двох векторiв. Отримуємо

\begin{array}{l} \vec{P A} & = (0 - 4, 0 - (- 4), 24 - 4) \\ = (- 4, 4, 20), \\ \vec{P B} & = (0 - 4, - 24 - (- 4), 0 - 4) \\ = (- 4, - 20, - 4) . \end{array}

\begin{array}{l} \vec{P A} & = (0 - 4, 0 - (- 4), 24 - 4) = (- 4, 4, 20), \\ \vec{P B} & = (0 - 4, - 24 - (- 4), 0 - 4) = (- 4, - 20, - 4) . \end{array}

Щоб знайти параметричне рiвняння, пiдставляємо точку

P

й вектори

\vec{P A}

\vec{P B}

у формулу. Отримуємо

\begin{array}{l} x & = 4 - 4 s - 4 t, \\ y & = - 4 + 4 s - 20 t, \\ z & = 4 + 20 s - 4 t . \end{array}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Параметризація прямих у просторі

Повернутися