>Параметризація>Параметризація прямих у просторі

Параметризація прямих у просторі

Пряма в тривимiрнiй системi координат

Прямi в тривимiрному просторi можна описати за допомогою параметризацiї. Параметричне рiвняння прямої через $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ у напрямку вектора $\vec{v} = (a, b, c)$ записується так:

Теорiя

Параметризацiя прямої в координатнiй формi

x = x_{0} + a t \land y = y_{0} + b t \land z = z_{0} + c t

x = x_{0} + a t \land y = y_{0} + b t \land z = z_{0} + c t

Це також можна виразити у виглядi вектора:

Теорiя

Параметризацiя прямої у векторнiй формi

\begin{array}{l} (x, y, z) & = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + t (a, b, c) \\ = (x_{0} + t a, y_{0} + t b, z_{0} + t c) \end{array}

Приклад 1

Знайди параметричне рiвняння прямої, що проходить через точку $P = (0, 0, 2)$ в напрямку $\vec{v} = (2, - 1, 1)$ .

Задаємо вираз у векторнiй формi. Отримуємо:

\begin{array}{l} (x, y, z) & = \vec{O P} + t \vec{v} \\ = (0, 0, 2) + t (2, - 1, 1) \\ = (2 t, - t, 2 + t) . \end{array}

Це можна записати в координатнiй формi:

x = 2 t \land y = - t \land z = 2 + t

У тривимiрному просторi описати пряму можна двома рiвняннями. Вони записуються так:

\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}

Записати два рiвняння можна й так:

\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}

\frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} .

Якщо дано параметричнi рiвняння прямої, то знаходимо цi рiвняння, змiнивши координатну форму параметричних рiвнянь, щоб усi вони виражали $t$ . Потiм задаємо цi вирази рiвними один одному, щоб отримати наведенi вище рiвняння.

Приклад 2

Знайди рiвняння прямої з параметричним рiвнянням

x = 2 t \land y = - t \land z = 2 + t .

Змiнюємо три вирази, щоб $t$ в них усiх стояло окремо. Отримуємо:

\begin{array}{l} t & = \frac{x}{2}, \\ t & = - y = \frac{y}{- 1}, \\ t & = z - 2 = \frac{z - 2}{1} . \end{array}

Отже, рiвняння для прямої мають вигляд

\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

Якщо $a$ , $b$ або $c$ в параметричному рiвняннi дорiвнює 0, ми не можемо записати рiвняння в цей спосiб. У цьому разi один з виразiв у параметричному рiвняннi показуватиме, що одна зi змiнних є константою. Тодi цей вираз стане самостiйним рiвнянням, а наведене вище рiвняння складатиметься лише з двох виразiв, що залишилися.

Приклад 3

Знайди рiвняння прямої, якщо дано таке параметричне рiвняння:

x = 3 \land y = 3 t - 4 \land z = 2 t + 1 .

Ми не можемо розв’язати рiвняння $x$ для $t$ , тому лишаємо його як є. Розв’язуємо решту рiвнянь для $t$ i отримуємо

\begin{array}{l} t & = \frac{y + 4}{3}, \\ t & = \frac{z - 1}{2} . \end{array}

Отже, рiвняння для прямої мають вигляд

x = 3 \land \frac{y + 4}{3} = \frac{z - 1}{2} .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке параметризація?

Наступна стаття

Параметризація площини

Повернутися