Для знаходження об’єму квадратної призми (паралелепiпеда), пiрамiди або тетраедра (пiрамiди з трикутником в основi), натягнутих на три вектори, використовують векторний добуток i скалярний добуток. Для цього спочатку знаходимо векторний добуток двох векторiв, потiм знаходимо скалярний добуток цього векторного добутку й третього вектора i, нарештi, множимо отримане число на коефiцiєнт для фiгури, об’єм якої шукаємо.
Для квадратної призми не потрiбно нi на що множити. Для пiрамiди з квадратом в основi коефiцiєнт дорiвнює , а для тетраедра — .
Зверни увагу! Iнодi ми отримуємо вiд’ємне число. Вiд’ємний об’єм не має сенсу, тому завжди використовуємо модуль розв’язку, наприклад .
Формула
Приклад 1
Знайди об’єм квадратної призми, натягнутої на вектори , i .
Спершу знаходимо векторний добуток двох векторiв, а потiм скалярний добуток цього векторного добутку з третiм вектором. Векторний добуток перших двох векторiв дорiвнює . Пiсля цього знаходимо скалярний добуток векторного добутку й вектора ,
i отримуємо значення об’єму 29. Якби розв’язок був вiд’ємним, ми скористалися б модулем цього значення.
Формула
Зверни увагу! Цю формулу можна застосовувати лише тодi, коли в основi пiрамiди лежить квадрат. Якщо в основi пiрамiди трикутник, то для цiєї фiгури, що називається тетраедром, застосовується власна формула.
Приклад 2
Знайди об’єм пiрамiди, натягнутої на вектори , i .
Спочатку знаходимо векторний добуток двох векторiв, а потiм скалярний добуток цього векторного добутку й третього вектора. Множимо результат на . Векторний добуток двох перших векторiв дорiвнює . Скалярний добуток векторного добутку й вектора дорiвнює , яке ми множимо на :
Об’єм дорiвнює . Якби розв’язок був вiд’ємним, ми скористалися б модулем цього значення.
Формула
Приклад 3
Знайди об’єм тетраедра, натягнутого на вектори , i .
Спочатку знаходимо векторний добуток двох векторiв, а потiм скалярний добуток цього векторного добутку й третього вектора. Множимо результат на . Векторний добуток двох перших векторiв дорiвнює . Скалярний добуток векторного добутку й вектора дорiвнює , яке ми множимо на :
Об’єм дорiвнює . Якби розв’язок був вiд’ємним, ми скористалися б модулем цього значення.