Як обчислити об'єм призми та піраміди з векторами

Для знаходження об’єму квадратної призми (паралелепiпеда), пiрамiди або тетраедра (пiрамiди з трикутником в основi), натягнутих на три вектори, використовують векторний добуток i скалярний добуток. Для цього спочатку знаходимо векторний добуток двох векторiв, потiм знаходимо скалярний добуток цього векторного добутку й третього вектора i, нарештi, множимо отримане число на коефiцiєнт для фiгури, об’єм якої шукаємо.

Для квадратної призми не потрiбно нi на що множити. Для пiрамiди з квадратом в основi коефiцiєнт дорiвнює 1 3, а для тетраедра — 1 6.

Зверни увагу! Iнодi ми отримуємо вiд’ємне число. Вiд’ємний об’єм не має сенсу, тому завжди використовуємо модуль розв’язку, наприклад V = |14| = 14.

Формула

Об’єм квадратної призми

V F = | (u ×v) w|

Призма, натягнута на три вектори

Приклад 1

Знайди об’єм квадратної призми, натягнутої на вектори (1, 3,2), (3, 2, 4) i (1, 1, 1).

Спершу знаходимо векторний добуток двох векторiв, а потiм скалярний добуток цього векторного добутку з третiм вектором. Векторний добуток перших двох векторiв дорiвнює (16, 2, 11). Пiсля цього знаходимо скалярний добуток векторного добутку й вектора (1, 1, 1),

(16, 2, 11) (1, 1, 1) = 16 + 2 + 11 = 29,

i отримуємо значення об’єму 29. Якби розв’язок був вiд’ємним, ми скористалися б модулем цього значення.

Формула

Об’єм пiрамiди

V P = 1 3 | (u ×v) w|

Зверни увагу! Цю формулу можна застосовувати лише тодi, коли в основi пiрамiди лежить квадрат. Якщо в основi пiрамiди трикутник, то для цiєї фiгури, що називається тетраедром, застосовується власна формула.

Об’єм пiрамiди, натягнутої на три вектори

Приклад 2

Знайди об’єм пiрамiди, натягнутої на вектори (1, 3,2), (3, 2, 4) i (1, 1, 1).

Спочатку знаходимо векторний добуток двох векторiв, а потiм скалярний добуток цього векторного добутку й третього вектора. Множимо результат на 1 3. Векторний добуток двох перших векторiв дорiвнює (16, 2, 11). Скалярний добуток векторного добутку й вектора (1, 1, 1) дорiвнює 29, яке ми множимо на 1 3:

1 3 29 = 29 3

Об’єм дорiвнює 29 3 . Якби розв’язок був вiд’ємним, ми скористалися б модулем цього значення.

Формула

Об’єм тетраедра

V T = 1 6 | (u ×v) w|

Об’єм тетраедра, натягнутого на трив вектори

Приклад 3

Знайди об’єм тетраедра, натягнутого на вектори (1, 3,2), (3, 2, 4) i (1, 1, 1).

Спочатку знаходимо векторний добуток двох векторiв, а потiм скалярний добуток цього векторного добутку й третього вектора. Множимо результат на 1 6. Векторний добуток двох перших векторiв дорiвнює (16, 2, 11). Скалярний добуток векторного добутку й вектора (1, 1, 1) дорiвнює 29, яке ми множимо на 1 6:

1 6 29 = 29 6

Об’єм дорiвнює 29 6 . Якби розв’язок був вiд’ємним, ми скористалися б модулем цього значення.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!