Як розв'язувати диференціальні рівняння методом інтегрувального множника

Порядок диференцiального рiвняння визначається похiдною найвищого порядку! Отже, диференцiальнi рiвняння першого порядку складаються лише з функцiї та її похiдної.

Диференцiальне рiвняння першого порядку можна записати так:

y + f(x)y = g(x).

Цей тип рiвнянь розв’язують методом iнтегрувального множника.

Теорiя

Iнтегрувальний множник

Iнтегрувальний множник — це eF(x), де

F(x) =f(x)dx

i F(x) = f(x) без C.

Якщо скористатися правилом добутку, бачимо, що

(eF(x)y) = eF(x)y + f(x)eF(x)y.

Цей вираз потрiбно ввести в початкове рiвняння. Тодi диференцiальне рiвняння можна розв’язати за допомогою iнтегрувальних множникiв.

Правило

Вказiвки з розв’язання диференцiальних рiвнянь методом iнтегрувального множника

y + f(x)y = g(x)| eF(x) eF(x)y + f(x)eF(x)y = (eF(x)y) = eF(x)g(x) (eF(x)y)dx =eF(x)g(x)dx eF(x)y =eF(x)g(x)dx y =eF(x)g(x)dx eF(x)

y + f(x)y = g(x)| eF(x) eF(x)y + f(x)eF(x)y = (eF(x)y) = eF(x)g(x) (eF(x)y)dx =eF(x)g(x)dx eF(x)y =eF(x)g(x)dx y =eF(x)g(x)dx eF(x)

Приклад 1

Розв’яжи диференцiальне рiвняння y + 2xy = ex за допомогою iнтегрувальних множникiв

y + 2xy = ex | ex2 ex2y + 2xex2y = 2xex2 (ex2y) = 2xex2 (ex2y)dx = 2xex2dx ex2y = 2xex2dx ex2y = 2xeu 1 2xdu ex2y =eudu ex2y = eu + C ex2y = ex2 + C | ex2 y = 1 + Cex2

y + 2xy = ex | ex2 ex2y + 2xex2y = 2xex2 (ex2y) = 2xex2 (ex2y)dx = 2xex2dx ex2y = 2xex2dx ex2y = 2xeu 1 2xdu ex2y =eudu ex2y = eu + C ex2y = ex2 + C | ex2 y = 1 + Cex2

*

u = x2 du dx = 2x du = 2xdx 1 2xdu = dx

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!