>Основи функцій>Обчислення області визначення та області значень у математиці

Обчислення області визначення та області значень у математиці

Пiд час роботи з функцiями часто потрiбно вказувати свої значення $x$ та $y$ . У математицi термiном область визначення позначається множина значень $x$ , якi є допустимими для задачi, а термiном область значень — вiдповiдна множина значень $y$ . Формально їх називають так:

Теорiя

Область визначення i область значень

Множину всiх допустимих значень $x$ для функцiї $f$ називають областю визначення $f$ i записують $D_{f}$ . Множину всiх значень $y$ , якi визначаються $D_{f}$ , називають областю значень $f$ i записують $R_{f}$ .

Набiльш поширенi приклади:

Для лiнiйних функцiй областю значень є множина усiх дiйсних чисел. Записуємо $R_{f} = ℝ$ .
Для квадратичних функцiй областю значень є всi числа починаючи з мiнiмального i вище або всi числа починаючи з максимального i нижче. Тодi записуємо $R_{f} = [a, \infty)$ або $R_{f} = (- \infty, a]$ , де $a$ — це значення $y$ екстремуму.

Для рацiональних функцiй, виражених у виглядi

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d},

областю значень є всi числа, крiм значення $y$ , якщо чисельник дорiвнює нулю, тобто горизонтальнiй асимптотi. Записати це можна так:

R_{f} = ℝ ∖ {\frac{a}{c}},

оскiльки $\frac{a}{c}$ — це горизонтальна асимптота.

Приклад 1

Роман стоїть на березi i жбурляє камiнь у воду. Камiнь рухається шляхом, заданим функцiєю $f (x)$ , де $x$ — це вiдстань вiд Романа до каменя в горизонтальному напрямку, а $y$ — висота камiня над водою протягом усього часу. Дiзнаємося, що висота каменю вiдповiдає функцiї

f (x) = - 0.1 x^{2} + x + 2

Знайди область визначення $D_{f}$ i область значень $R_{f}$ для функцiї, щоб кидок мав сенс.

Щоб знайти область визначення $D_{f}$ , потрiбно знайти найменше та найбiльше значення, яких може набувати $x$ . Як бачимо, $x$ має бути бiльшим за 0. Якщо допустити, щоб $x$ було меншим за 0, Роман у кiнцевому пiдсумку викине камiнь на берег, а це не вiдповiдає умовам задачi.

Тепер потрiбно знайти найбiльше значення $x$ . Кидок завершується, коли камiнь вдариться об поверхню води, а це вiдбувається, коли $y = 0$ . Отже, потрiбно розв’язати рiвняння

f (x) = 0 .

Оскiльки $f (x)$ є квадратичною функцiєю, то для розв’язання цього рiвняння можемо використати формулу для коренiв квадратного рiвняння. Отже, розв’язками буде $x_{1} = - 1.71$ та $x_{2} = 11.71$ . Область визначення починається з 0, а отже, можна iгнорувати $x_{1}$ , тому що $x_{1}$ є вiд’ємним числом. Камiнь впаде у воду через $11.71$ метра. Отже, область визначення

D_{f} = [0, 11.71] .

Щоб знайти область значення $R_{f}$ , потрiбно знайти найменше i найбiльше значення, яких може набувати $y$ , на основi значень $x$ , знайдених для $D_{f}$ . Найменшого значення $y$ набуває, коли камiнь вдаряється об поверхню води. Це вiдбувається при $y = 0$ , тобто на висотi 0 метрiв над водою.

Щоб знайти найбiльше значення $y$ , потрiбно знайти значення $y$ , за якого камiнь перебуватиме на найбiльшiй висотi над поверхнею води. Його можна знайти, прочитавши значення $y$ для максимального значення функцiї. Щоб знайти максимальне значення, зобрази графiк функцiї або скористайся диференцiюванням. Який би спосiб ти не обрав/обрала, найбiльша висота каменю становитиме $4.5$ м. Отже, область значень

R_{f} = [0, 4.5] .

Теорiя

Асимптоти, область визначення i область значень

Вертикальна асимптота перетинає вiсь $x$ . Математичний спосiб запису вертикальної асимптоти — $x = a$ , де $a$ — це число, в якому вертикальна асимптота перетинає вiсь $x$ . Область визначення функцiї з вертикальною асимптотою не мiстить $a$ .
Горизонтальна асимптота перетинає вiсь $y$ . Математичний спосiб запису горизонтальної асимптоти — $y = a$ , де $a$ — це число, в якому горизонтальна асимптота перетинає вiсь $y$ -axis. Область значень функцiї з горизонтальною асимптотою не мiстить $a$ .

Приклад 2

Знайди область визначення i область значень для $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

Щоб знайти область визначення $D_{f}$ , поглянь на значення $x$ , за яких функцiя має сенс, тобто для яких можна пiдставити значення $x$ i знайти вiдповiдь. Як ми знаємо, знаменник дробу не може дорiвнювати нулю. Через це функцiя не визначена для значення $x$ , у знаменнику якого виходить 0. Отже, отримуємо

x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 .

Тодi область визначення — це всi значення $x$ , окрiм значення $x$ вертикальної асимптоти, у цьому випадку $x = 1$ . Математично записуємо це так:

D_{f} = ℝ ∖ {1} .

Щоб знайти область значень $R_{f}$ , потрiбно знайти горизонтальну асимптоту. Тобто область значень — це всi дiйснi числа, крiм горизонтальної асимптоти. Оскiльки $f$ описує гiперболу (як бачимо з функцiї), то знаходимо горизонтальну асимптоту за формулою

y = \frac{a}{c} .

Отримуємо

y = \frac{2}{1} = 2 .

Тодi область значень вiдповiдатиме усiм дiйсним числам, окрiм значення $y$ горизонтальної асимптоти, у цьому випадку $y = 2$ . Математично записуємо це так:

R_{f} = ℝ ∖ {2} .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Знаходження значень x та y функції

Наступна стаття

Як обчислити та інтерпретувати точки перетину

Повернутися