Що означає в математиці розбивання та замощення площини?

Щоб замостити площину многокутниками, сума всiх кутiв, якi мають спiльну вершину, має становити рiвно $360$°. Потрiбно знайти, скiльки дорiвнює кут правильного п’ятикутника. Для цього використаємо формулу внутрiшнього кута, яка дає нам

$$v=180\text{°}-\frac{360\text{°}}{5}=180\text{°}-72\text{°}=108\text{°}.$$

Це означає, що внутрiшнi кути п’ятикутника дорiвнюють $108$°. Якщо ми розташуємо три п’ятикутники поруч один з iншим, сума кутiв становитиме $324$°, що замало. Якщо ми розташуємо чотири п’ятикутники поруч один з iншим, сума кутiв становитиме $432$°, що забагато. З цiєї причини не можна використати правильнi п’ятикутники для замощення площини.

Почнемо зi знаходження кутiв у вершинах правильного трикутника за формулою внутрiшнього кута. Отримаємо

$$v=180\text{°}-\frac{360\text{°}}{3}=180\text{°}-120\text{°}=60\text{°}.$$

Це означає, що внутрiшнi кути правильного трикутника дорiвнюють по $60$°.

Потiм знаходимо внутрiшнi кути правильного шестикутника за тiєю самою формулою. Отримаємо

$$v=180\text{°}-\frac{360\text{°}}{6}=180\text{°}-60\text{°}=120\text{°}.$$

Це означає, що внутрiшнi кути правильного шестикутника дорiвнюють по $120$°.

Якщо ми помiстимо два трикутники та два шестикутники поруч один з iншим так, щоб вони перетиналися в однiй точцi, то побачимо, що сума кутiв у цiй точцi становить

$$120\text{°}+120\text{°}+60\text{°}+60\text{°}=360\text{°}.$$

Це означає, що можна використати два правильнi трикутники та два правильнi шестикутники для замощення площини.