Ти можеш стикнутися з ситуацiями, коли потрiбно перетворити функцiї, що мiстять як синуси, так i косинуси, в гармонiчний осцилятор. Тодi потрiбно використати таку формулу:
Формула
Зверни увагу! Часто корисно накреслити одиничне коло, щоб переконатися, що значення, знайденi для , знаходиться в правильному квадрантi.
Розв’язуючи рiвняння виду
гарною iдеєю буде переписати лiву частину у виглядi .
Приклад 1
Перепиши вираз у гармонiчний осцилятор iз синусом як найпростiшою функцiєю,
Щоб переписати рiвняння, потрiбно спершу знайти амплiтуду коливань та фазу коливань . Амплiтуда коливань становить
Обчислюючи фазу, потрiбно взяти до уваги знаки (вiсь ) та (вiсь ). Оскiльки та , бачимо, що точка знаходиться у четвертому квадрантi. Це означає, що обчислимо фазу коливань так:
Оскiльки , — це значення , яке ми шукаємо. Це робить рiвняння подiбним до виду гармонiчного осцилятора:
Приклад 2
Розв’яжи рiвняння
Спершу обчислимо :
Опiсля обчислимо :
Отримаємо, що . Оскiльки та , має бути у першому квадрантi, тому що . Отримаємо . Це дає нам
Це рiвняння має такi розв’язки
Отримаємо такi два розв’язки:
Приклад 3
Перепиши вираз як гармонiчний осцилятор з косинусом як найпростiшою функцiю,
Зверни увагу! Якщо ми бажаємо отримати функцiю косинуса, потрiбно вiдняти вiд значення, обчисленого для , за допомогою функцiї . Отримаємо .
Спочатку обчислюємо амплiтуду коливань :
Обчислюючи фазу коливань, потрiбно взяти до уваги знак (вiсь ) та (вiсь ). Оскiльки та , перебуваємо в першому квадрантi, й можна обчислити фазу таким чином:
Оскiльки , – це значення , вiд якого потрiбно вiдняти . Отримаємо
Це означає, що гармонiчний осцилятор має такий вигляд
Приклад 4
Розв’яжи рiвняння
Спочатку ми обчислимо та *, щоб використати формулу гармонiчного осцилятора:
Оскiльки та , знаходиться в четвертому квадрантi, i тому що
можна використати
Отримаємо
Це найпростiше рiвняння має такi розв’язки
Розв’язавши рiвняння, отримаємо
Це розв’язки рiвняння, оскiльки немає обмежень щодо .