Що таке теорема Баєса?

Теорема Баєса описує пошук P (AB), якщо ми вже знаємо P (BA), P (A) i P (B). Це дуже корисно в побутi, як видно з прикладу нижче. Теорема Баєса має такий вигляд:

Формула

Теорема Баєса

P (AB) = P (A) P (BA) P (B)

У багатьох завданнях P (B) не дається. У цьому випадку знаходимо його в такий спосiб:

P (B) = P (A B) + P (A B) = P (A) P (BA) + P (A) P (BA)

Ми називаємо це законом повної ймовiрностi.

Приклад 1

У Сполучених Штатах полiцiя використовує пiд час допитiв детектори брехнi, або полiграфи, щоб спробувати визначити, чи каже свiдок правду. Пiд час дослiдження детекторiв брехнi було з’ясовано:

  • Якщо особа бреше, ймовiрнiсть того, що детектор брехнi виявить брехню, складає 90%.

  • Якщо особа каже правду, iснує ймовiрнiсть 15%, що детектор брехнi вирiшить, що вона бреше.

Свiдка у кримiнальнiй справi пiд’єднали до детектора брехнi, який показав, що свiдок бреше. Якщо ймовiрнiсть брехнi складає 25%, то яка ймовiрнiсть того, що показання детектора брехнi є iстинним?

У цьому прикладi потрiбно застосувати теорему Баєса. Просто сконцентруйся i виконуй процедуру крок за кроком.

1.
Передусiм запиши висновок з iнформацiї, яка тобi вiдома: L = особа бреше, T = особа каже правду, AL = детектор брехнi виявив брехню, AT = детектор брехнi виявив правду.
2.
Як ти знаєш, P (L) = 0.25. Отримуємо
P (T ) = 1 P (L) = 0.75.
3.
Крiм того, ти знаєш, що P (ALL) = 0.90 i P (ALT ) = 0.15.

Потрiбно з’ясувати умовну ймовiрнiсть P (LAL). Тут ми i застосовуємо теорему Баєса, але спершу потрiбно розрахувати P (AL) згiдно з законом повної ймовiрностi. Пiдставляємо формулу цiєї ймовiрностi прямо в теорему Баєса, хоча зручнiше буде спершу розрахувати її окремо. Робимо це так:

P (AL) = P (L) P (ALL) + P (T ) P (ALT ) = 0.25 0.90 + 0.75 0.15 = 0.3375.

Пiсля цього пiдставляємо всi вiдомi числа в теорему Баєса i знаходимо розв’язок.

P (LAL) = P (L) P (ALL) P (AL) = 0.25 0.90 0.3375 = 0.67.

Iмовiрнiсть того, що свiдок дiйсно бреше, якщо детектор брехнi показує, що свiдок бреше, становить лише 0.67. Не надто переконливо!

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!