Теорема Баєса описує пошук , якщо ми вже знаємо , i . Це дуже корисно в побутi, як видно з прикладу нижче. Теорема Баєса має такий вигляд:
Формула
У багатьох завданнях не дається. У цьому випадку знаходимо його в такий спосiб:
Ми називаємо це законом повної ймовiрностi.
Приклад 1
У Сполучених Штатах полiцiя використовує пiд час допитiв детектори брехнi, або полiграфи, щоб спробувати визначити, чи каже свiдок правду. Пiд час дослiдження детекторiв брехнi було з’ясовано:
Якщо особа бреше, ймовiрнiсть того, що детектор брехнi виявить брехню, складає .
Якщо особа каже правду, iснує ймовiрнiсть , що детектор брехнi вирiшить, що вона бреше.
Свiдка у кримiнальнiй справi пiд’єднали до детектора брехнi, який показав, що свiдок бреше. Якщо ймовiрнiсть брехнi складає , то яка ймовiрнiсть того, що показання детектора брехнi є iстинним?
У цьому прикладi потрiбно застосувати теорему Баєса. Просто сконцентруйся i виконуй процедуру крок за кроком.
Потрiбно з’ясувати умовну ймовiрнiсть . Тут ми i застосовуємо теорему Баєса, але спершу потрiбно розрахувати згiдно з законом повної ймовiрностi. Пiдставляємо формулу цiєї ймовiрностi прямо в теорему Баєса, хоча зручнiше буде спершу розрахувати її окремо. Робимо це так:
Пiсля цього пiдставляємо всi вiдомi числа в теорему Баєса i знаходимо розв’язок.
Iмовiрнiсть того, що свiдок дiйсно бреше, якщо детектор брехнi показує, що свiдок бреше, становить лише . Не надто переконливо!