Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Математичне сподівання та дисперсія сум

Пiсля знаходження математичного сподiвання та варiацiї для набору даних корисно знати, що обчислювати все знову у разi внесення дрiбних змiн до набору даних не доведеться. Насправдi можна використовувати значення математичного сподiвання та варiацiї, визначенi ранiше, пiдставивши їх у формули, з якими ми познайомимося в цьому роздiлi.

Теорiя

Сума змiнних

Сума випадкових змiнних може мати такий вигляд:

Z = aX + Y + b,

де X i Y — це випадковi змiннi, що не залежать одна вiд одної, а a i b — це сталi.

За наявностi суми змiнних знайденi значення E ⁡ (X), E ⁡ (Y ), Var ⁡ (X) i Var ⁡ (Y ) можна використовувати безпосередньо. Загалом надмiру ускладнений розрахунок може суттєво спростити завдяки формулам:

Формула

Зручнi формули на розрахунок суми змiнних

E ⁡ (Z) = E ⁡ (aX + Y + b) = E ⁡ (aX) + E ⁡ (Y + b) = a E ⁡ (X) + E ⁡ (Y ) + b Var ⁡ (Z) = Var ⁡ (aX + Y + b) = Var ⁡ (aX) + Var ⁡ (Y + b) = a2 Var ⁡ (X) + Var ⁡ (Y ) Зверни увагу! Пiсля знаходження варiацiї вiльний член усувається.

Приклад 1

Дано Z = 3X + Y + 6 i E ⁡ (X) = 7, E ⁡ (Y ) = 16, Var ⁡ (X) = 2 i Var ⁡ (Y ) = 3. Знайди математичне сподiвання E ⁡ (Z) i варiацiю Var ⁡ (Z).

Щоб знайти математичне сподiвання, пiдставляємо вiдомi значення у формули:

E ⁡ (Z) = E ⁡ (3X + Y + 6) = E ⁡ (3X) + E ⁡ (Y + 6) = 3 E ⁡ (X) + E ⁡ (Y ) + 6 = 3 ⋅ 7 + 16 + 6 = 43

Варiацiю шукаємо так само:

Var ⁡ (Z) = Var ⁡ (3X + Y + 6) = Var ⁡ (3X) + Var ⁡ (Y + 6) = 32 Var ⁡ (X) + Var ⁡ (Y ) = 9 ⋅ 2 + 3 = 21

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
У чому полягає математичне сподівання?
Повернутися