Stasjonære punkter

Ofte vil du finne ut hvor en graf er på sitt høyeste (toppunkt) eller laveste (bunnpunkt). Disse punktene kalles for ekstremalpunktene til grafen. Det finnes også et tredje punkt som heter terrassepunkt. Her vil grafen ha null stigning (den deriverte er lik 0), men det er verken et toppunkt eller bunnpunkt. Samlebetegnelsen på punkter på grafen til $f (x)$ som er slik at den deriverte er 0, er stasjonære punkter.

Fortegnslinjen til $f^{'} (x)$ forteller hvor grafen $f (x)$ stiger eller synker. Den forteller også hvor grafen til $f (x)$ har topp-, bunn- og terrassepunkter (stasjonære punkter). Videre forteller fortegnslinjene til den deriverte funksjonen $f^{'} (x)$ hvor den deriverte funksjonen $f^{'} (x)$ ligger over eller under $x$ -aksen. Du avgjør hva punktene er på følgende måte:

Regel

Slik bestemmer du stasjonære punkter

Toppunktene til en funksjon finner du der en graf går fra å stige til å avta.
Bunnpunktene til en funksjon finner du der en graf går fra å avta til å stige.
Terrassepunktene til en funksjon finner du der en graf går fra å vokse til å hvile for så å vokse videre, eller fra å avta til å hvile for så å avta videre.

Studer figuren nøye. Den viser sammenhengen mellom $f (x)$ , $f^{'} (x)$ og fortegnslinjene til begge. Fortegnslinjer er nyttige når du skal avgjøre hvor funksjonen $f (x)$ har stasjonære punkter.

Grafene til f(x) og f’(x) med nullpunkter markert samt tilhørende fortegnslinjer.

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow f$ vokser
$f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow f$ avtar
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f$ flater ut

Fortegnslinjene hjelper deg altså med å finne ulike egenskaper ved funksjonene.

Eksempel 1

Finn de stasjonære punktene (topp-, bunn- og terrassepunkter) til

f (x) = x^{2} + 5 x + 6

Du finner disse punktene ved å løse likningen $f^{'} (x) = 0$ . Finn derfor $f^{'} (x)$ og sett det nye uttrykket lik 0.

\begin{array}{l} f^{'} (x) = 2 x + 5 & = 0 \\ 2 x & = - 5 | : 2 \\ x & = - \frac{5}{2} \end{array}

For å finne $y$ -verdien setter du $x = - \frac{5}{2}$ inn i hovedfunksjonen $f (x)$ :

f (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 6 = - \frac{1}{4} .

Du har altså et stasjonært punkt i $(- \frac{5}{2}, - \frac{1}{4})$ . Du må nå finne ut om det er et toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt. Når du jobber med andregradsfunksjoner ( $a x^{2} + b x + c$ ) kan du lett finne ut av dette ved å se på verdien til $a$ i funksjonsuttrykket. I $f (x) = x^{2} + 5 x + 6$ er $a = 1 > 0$ , som betyr at du grafen smiler og du har et bunnpunkt.

Eksempel 2

Finn nullpunktene og de stasjonære punktene til funksjonen $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x$ . Finn også områdene der funksjonen stiger og avtar.

Nullpunkter

Du finner nullpunktene ved å løse likningen $f (x) = 0$ :

x^{3} + x^{2} - 2 x = x (x^{2} + x - 2) = 0

Faktoriser andregradsleddet med $a b c$ -formelen eller inspeksjon:

x (x + 2) (x - 1) = 0

Du bruker nå nullfaktorregelen og finner at

\begin{array}{l} x & = 0 \\ x + 2 & = 0 \Rightarrow x = - 2 \\ x - 1 & = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}

Nullpunktene blir dermed $(- 2, 0)$ , $(0, 0)$ og $(1, 0)$ .

Stasjonære punkter

Du finner de stasjonære punktene ved å løse likningen

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2 = 0 .

Det gjør du med $a b s$ -formelen:

\begin{array}{l} x & = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{6} \\ = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3} \end{array}

Du får dermed at $x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3} \approx 0, 55$ og $x = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{3} \approx - 1, 22$ . For å finne de tilhørende $y$ -verdiene setter du $x$ -verdiene tilbake i hovedfunksjonen $f (x)$ . Da får du

\begin{array}{l} f (0, 55) & = {(0, 55)}^{3} + {(0, 55)}^{2} - 2 (0, 55) \\ = - 0, 63 \\ f (- 1, 22) & = {(- 1, 22)}^{3} + {(- 1, 22)}^{2} - 2 (- 1, 22) \\ = 2, 11 \end{array}

De stasjonære punktene blir dermed $(0, 55, - 0, 63)$ og $(- 1, 22, 2, 11)$ . For å bestemme hvilke type punkter du har (topp-, bunn- og terrassepunkter), må du finne verdien til den deriverte i intervallene før, mellom og etter de stasjonære punktene. Dette kan du gjøre ved å tegne fortegnslinjene til faktoriseringen $3 (x - 0, 55) (x + 1, 22)$ . Det blir som dette:

Fortegnslinjer for f’(x) = 3x^2 + 2x - 2

Fra fortegnslinjene ser du at:

$f (x)$ avtar på intervallet $⟨ - 1, 22, 0, 55 ⟩$ ,
$f (x)$ stiger på området $⟨ \leftarrow, - 1, 22 ⟩ \cup ⟨ 0, 55, \to ⟩$ .

Dermed vet du at

(- 1, 22, 2, 11)

er et toppunkt og at

(0, 55, - 0, 63)

er et bunnpunkt.

NB! Du kan ikke avsløre hva som er et toppunkt eller et bunnpunkt fra $y$ -verdiene du regner ut, ved å si at den laveste verdien er et bunnpunkt og den høyeste verdien et toppunkt. Dette er fordi $y$ -verdiene ikke forteller hvordan et toppunkt ligger i forhold til et bunnpunkt, eller hvordan bunnpunkt/ toppunkt ligger i forhold til hverandre. Du har stasjonære punkter der funksjonens stigningstall lik 0. Se på figuren under.

Grafen til en funksjon f(x) med flere stasjonære punkter markert.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Krumning

Tilbake