Bæreevnen er maksimalbestanden for en gitt gruppe. Logistisk vekst har du når vekstfarten er proporsjonal med selve bestanden , og proporsjonal med avstanden mellom bestanden og bæreevnen . Du kan dermed skrive logistisk vekst som en separabel differensiallikning. Differensiallikningen blir dermed:
Den generelle løsningen er gitt ved denne formelen:
Dersom du får beskjed om å løse integralet vil denne formelen komme til nytte:
Eksempel 1
I et forurenset drikkevann var antall bakterier til å begynne med 800. Den første timen økte antall bakterier med 320. Anta at antall bakterier følger en logistisk vekstmodell og at bæreevnen for antall bakterier i drikkevannet er 7500. La være bakterieantallet etter timer. Finn , bestem vekstmodellen og finn hvor mange bakterier det var etter 5 og 13 timer.
Fra teksten ser du at , , . Du finner ved å sette inn i formelen og løse for :
Du kan nå sette rett inn i differensiallikningen og løse denne for å finne vekstmodellen:
Løs differensiallikningen ved å sette direkte inn i løsningsformelen:
For å finne vekstmodellen i dette tilfellet må du løse ut . I teksten leser du at initialbetingelsen er . Sett inn i uttrykket for rett over og få
Dette gir vekstmodellen:
Du kan nå finne antall bakterier for og :
Antall bakterier etter 5 og 13 timer er henholdsvis 3963 og 7318.