Funksjoner med i nevneren kaller du rasjonale funksjoner. Disse er på brøkform og har asymptoter. Asymptoter er usynlige linjer i koordinatsystemet som grafen beveger seg mot, men aldri treffer. Rasjonale funksjoner kan se ut som grafene i figuren under.
Teori
En rasjonal funksjon uttrykkes på denne formen:
der og er polynomfunksjoner.
På figuren over ser du grafene til funksjonene
Hyperbler er blant de enkleste rasjonale funksjonene. Hyperbler er forholdet mellom to lineære funksjoner, og .
Teori
Hyperbelen er en viktig rasjonal funksjon og er forholdet mellom to lineære funksjoner. Formelen for en hyperbel er
En hyperbel har en vertikal og en horisontal asymptote (de stiplede linjene).
Formel
Vertikal asymptote
er der nevneren er lik null. Du kan bruke denne formelen:
Horisontal asymptote
er verdien grafen går mot når . Du kan bruke denne formelen:
Eksempel 1
Funksjonen til en hyperbel er gitt ved
Finn asymptotene og grafens skjæring med aksene.
Den generelle formelen til en hyperbel er
I denne oppgaven er , , og .
Du finner den vertikale asymptoten slik:
Den vertikale asymptoten er .
Deretter finner du den horisontale asymptoten:
Den horisontale asymptoten er .
Skjæring med -aksen finner du ved å sette , fordi -koordinaten er 0 langs hele -aksen. Dette gir:
Hyperbelen skjærer -aksen i .
Skjæring med -aksen finner du ved å sette , fordi -koordinaten er 0 langs hele -aksen. Dette gir:
Det holder å sette telleren lik null, siden en brøk er null så lenge telleren er null. Da får du
Hyperbelen skjærer -aksen i .